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Wärmetheorie 1). Sodann behandelte sie Bessel in der Abhandlung: Unter- 
suchungen des Theiles der planetarischen Störungen, welcher aus der Be- 
wegung der Sonne entsteht (Abhandlungen der Künigl. Akademie der Wissen- 
schaften zu Berlin 1824). Nach diesen beiden Entdeckern ist diesen Func- 
tionen theils der Name „Bessel’sche* theils „Fourier-Bessel’sche“ beigelegt 
worden. Jetzt werden sie allgemein „Cylinderfunetionen“ genannt, freilich mit 
wenig Berechtigung. „Handelt es sich nämlich darum, die Potentialfunction 
des Innenraumes T einer Kugel zu finden, welche auf der Oberfläche von T 
vorgeschriebene Werthe hat, so kommt man zu der nach Kugelfunctionen fort- 
schreitenden Reihe. Lässt man jedoch den Radius der Kugel unendlich gross 
werden, so gelangt man zu der nach Cylinderfunetionen fortschreitenden In- 
tegraldarstellung 2).“ Die Kugeloberfläche verwandelt sich dann in eine Ebene, 
also müsste man consequenter Weise die Function, welche jetzt der Kugel- 
funetion entspricht, „Planfunetion“ nennen und nicht, wie es geschieht, Uylinder- 
funetion, wobei man den gar nicht in Betracht kommenden Uebergang eines 
aus der Kugel ausgeschnittenen Kegels in einen Cylinder im Auge hat. 
Diese Funetionen genügen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, 
welche man aus 2) durch Substitution von x — cos” und durch Uebergang 
zu unendlichem n erhält. Auf dieselbe Weise bekommt man aus den Kugel- 
funetionen höherer Ordnung die Cylinderfunctionen höherer Ordnung 3) und 
demgemäss aus 3) die für diese geltende, in dieser Form hier zum ersten 
Male aufgestellte Differentialgleichung 
p—1 dy, SzemmH+p=2) 
Ö Zn ed y=o, 
welche für p—2 in die sogenannte Bessel’sche Differentialgleichung übergeht. 
Alle diese Functionen sind zunächst eingeführt worden unter der 
Voraussetzung ganzzahliger Indices. Hin und wieder finden sich nun Er- 
1) Theorie analytique de la chaleur. (Paris 1822, p. 369.) 
2) C. Neumann: Ueber die nach Kreis-, Kugel- und Cylinderfunetionen fortschreitenden 
Entwickelungen. Leipzig 1881, p. 2. 
5) Heine, Handbuch I, p. 463. 
