Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 11 
weiterungen insofern, als man zu beliebigen Parametern übergegangen ist. 
Dies ist betreffs der Kugelfunctionen besonders von Heine, Mehler und 
Schläfli!) geschehen, indem dieselben theils von bestimmten Integralen, 
theils von hypergeometrischen Reihen, welche jene Functionen darstellen, 
ausgegangen sind; betreffs der Cylinderfunetionen von Lommel und Hankel?). 
Nirgends3) aber wird die "Theorie dieser Funetionen in allgemeinster Weise 
für ganz beliebige Parameter als die 'T'heorie der partieulären Integrale der 
Difterentialgleichungen 3) und 4), welche nur Specialfälle der Differential- 
gleichung der hypergeometrischen Reihe sind, behandelt, obgleich diesen 
Gedanken schon Kummer) im Jahre 1836 ausgesprochen und dazu benutzt 
hat, zwei für die Rechnung bequeme Reihen für die P,, zu geben. 
Die 'T'heorie der hypergeometrischen Reihe, wie sie von Gauss>) be- 
gründet, von Kummer®), Jacobi‘) und Anderen weiter entwickelt wurde, 
hat Riemann in präciser Form auf eigenem Wege in seiner Abhandlung: 
„Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe F («,3,y,x) darstellbaren 
Functionen“ (Werke p. 62) zu einem Abschlusse gebracht. Die dort gegebenen 
Sätze lassen sich auf die Kugel- und Cylinderfunctionen übertragen, falls man 
die bei der Specialisirung eintretenden Ausnahmen beachtet. Auf diese Weise 
gelangt man zu einer einheitlichen "Theorie dieser Functionen. Wie sich diese 
den Hauptzügen nach gestaltet, soll im Folgenden gezeigt werden. 
1) Heine l. c. I, p. 37. Mehler, Math. Annalen 18, p. 161: Ueber eine mit den 
Kugel- und Cylinderfunctionen verwandte Function. Schläfli: Ueber die zwei Heine’schen 
Kugelfunctionen mit beliebigem Parameter etc. 
2) Lommel: Studien über die Bessel’schen Functionen; Leipzig 1868. Hankel: Die 
Cylinderfunetion 1. und 2. Art. Math. Annalen I, p. 467. 
3) Wie ich erfahren habe, hat Herr Prof. Scheibner in seinen seit 1856 gehaltenen 
Vorlesungen über die hypergeometrische Reihe die Theorie dieser Reihen auf die Kugelfunctionen 
angewendet. Näheres ist mir nicht bekannt. 
#) Ueber die hypergeometrische Reihe. (Crelle 15, p. 155.) Die Reihen beziehen sich 
auf den Punkt 1. 
5) Disquisitiones generales circa seriem infinitam F (a, ß, y, x). Werke 3, p. 197. 
6) Siehe Seite 9, Anmerkung >). 
