Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 13 
Hierin sind die Differenzen der Exponentenpaare 
rn —2 2 —2 
ug ’ 
ren, WE 2 rel, (lRC-E 2 
zwei derselben sind einander gleich, also ergiebt sich der wichtige hier zum 
ersten Male aufgestellte Satz: 
Die Theorie der allgemeinsten Kugelfunction ist identisch 
mit der Theorie der ?-Function, in der zwei der Exponenten- 
differenzen einander gleich sind. 
Da hiernach die drei Parameter «, », », von welchen die Kugel- 
function abhängig ist, nur zwei verschiedene Exponentendifferenzen ergeben, 
so ist einer von ihnen überflüssig, wenn wir nur mit Riemann diejenigen 
Funetionen als nicht wesentlich verschieden betrachten, welche sich in die 
Form zusammenfassen lassen: P(«-«', 8-8, y-y', x) (Riemann 1. ec. II). Wollen 
wir daher von diesem Standpunkte aus etwa die Kugelfunctionen höherer 
Ordnung bei Seite lassen, so finden wir durch einfache Anwendung der bei 
Riemann angegebenen 'T'ransformationsformel, dass dieselben aus denen zweiter 
Ordnung hervorgehen, falls wir die P-Funetion 
—| ee) +1 
uw h u’ N 
8) ae ud SulNer- 
ur u! 
ne 
it 
mit (1—x?) * multiplieiren und in derselben 
z-2 7052 
a m 
setzen. Wir haben somit den neuen Satz gefunden: 
Die Kugelfunctionen ztT Ordnung mit Index » und der 
Stufe «u gehen aus der P-Function 8), welche die Kugelfunetionen 
zweiter Ordnung mit dem Index » und der Stufe w darstellt, 
hervor, wenn man darin substituirt 
7T 
—„ T—D2 
Un u er 
‘ a) 2 
231 
und die so erhaltene Funetion mit (I—x?) * multiplieirt. 
So wie wir oben (p. 9) die Cylinderfunction als Grenzfall der Kugel- 
funetion definirt haben, werden wir sie jetzt als Grenze einer gewissen 
