14 R. Olbricht. 
P-Function auffassen können. Die Differentialgleichung 4) der Cylinder- 
funetionen erhielten wir aus 3), indem wir darin x — lim cos _ setzten. Da 
u >] 
nun die der Gleichung 3) genügenden Functionen die singulären Stellen 
—1, +1, © haben, so ergeben sich für die singulären Punkte der 
Gleichung 4) 
n.arc cos — 1 n are cos — 1 n arc COS X, 
oder beim Uebergang zur Grenze n — x 
lm n»r o oo. 
n=&® 
Wir sehen also, dass durch diese Substitution der singuläre Punkt 1 
nach 0 rückt, während der Punkt —1 nach Unendlich zu fallen kommt. 
Da nun dort bereits eine singuläre Stelle vorhanden ist, so erhalten wir da- 
selbst nach der Weierstrass’schen Definition eine wesentlich singuläre Stelle, 
welche die Eigenschaft hat, dass die Function in der Nähe derselben jeden 
beliebigen Werth unendlich oft annimmt. Um demnach aus der Gleichung 
der P-Function 6) die Gleichung 4) abzuleiten, müssen wir a 
1 
,b=,,c—=n 
a: : re ap 
setzen und für lim & = o, lim n — & die Üoeffieienten von „,„ und P so be- 
+p—2) es . B 
;‚ ZZ werden. Führen wir zugleich 
a d el x’—m(m 
stimmen, dass sie — resp. —— 5 
beliebige Indices ein, indem wir für n, m, p substituiren », «, , so erhalten 
wir nach Ausführung der angedeuteten Rechnung folgende P-Function als 
Symbol der allgemeinsten Cylinderfunetion: 
lm P 3 3 P) RN: 
‚== 
1 O5 (6) 
1+y1-4% (a-9+Ya—N—Ar B-mM+VY@a—a” +4ulu+a—2) 
29 ? 
1—-y1I-—4r% (a-9)- Var @— a) —- Vy2@—n) + Aulurn—2) 
2 2 2 
oder, da man für sehr grosses » ı und (#—2): gegen 4»: vernach- 
lässigen kann: 
| var 06 0 \ 2a 
Ö a . - = — - 2 
9, immer iv 1v IV @— m Aula tn —2) xt.x 
IE: er —iv —4V/R —- a) + A4Auu+r—2) | 
Bei dem Grenzübergange werden also auch hier zwei der Exponenten- 
paare einander gleich, womit gezeigt ist, dass alle Cylinderfunetionen mit 
beliebigen Indices durch jene Substitution, welche Mehler und Heine zunächst 
nur für die Functionen mit ganzzahligen Indices angegeben haben, aus den 
