Studien über die Kugel- und Oylinderfunctionen. 15 
Kugelfunetionen gewonnen werden können. Für x — 2, also für den Fall 
der gewöhnlichen Cylinderfunetionen, erhält man die einfache Form 
| voc oo 0 | 
10) lim P iv iv u ar 
’=00 | . . | 
— iv — ]V —u 
und hieraus ergiebt sich, analog wie wir für die Kugelfunctionen höherer 
Ordnung gefunden haben: 
Die Cylinderfunetionen höherer Ordnung erhält man aus 
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denen zweiter Ordnung, indem man die ?-Funetion 10) mit x 2 
7)2+ u(u + r—2). 
Die Formel 9) findet sich hier zum ersten Male, während 10) bereits 
multiplieirt und „ ersetzt durch 4yY@ 
in einer Abhandlung des Herrn Papperitz (Math. Annalen 25, p. 213, Anm. 2), 
dem ich die Ableitung früher mitgetheilt habe, abgedruckt ist. 
Ueber die möglichen Darstellungsweisen der Kugel- und Cylinder- 
functionen. 
Die P-Funetion, in der zwei der Exponentendifferenzen einander gleich 
sind, lässt ausser den allgemeinen Umänderungen!) noch zwei besondere zu. 
Mit Hülfe der Riemann’schen Transformation ?2) A) erhalten wir aus unserer 
P-Function 8), wenn wir darin der einfacheren Schreibweise wegen die Striche 
an den Indices weglassen: 
IR ) 0 l 0 ee l 
4 u # rn Vv u = 
tl) R De 3 SS =P 0 > 2 A 
u u 1 „+1 u 
we DAL Bi 2 Dunn 
Die letztere geht durch Vertauschung der zweiten und dritten Vertical- 
reihe über in 
wi) 1 ee) 
\ 0 u v 5. 
12) zn GE ir nr), 
| 1 u v-+l1l 
DT ar 
1) Riemann, Ice. I. 
2) Riemann, |. c. p. 71A resp. I Kummer, Crelle 15, p. 64, $ 14 ff. 
