16 R. Olbricht. 
und hieraus ergiebt sich durch abermalige Anwendung von A) 
|—1 +1 00 
v v Re 
13) er ale >; Vz 
v+1l +1 
a, TE on 
Führen wir in 11) und 13) auch die Verzweigungswerthe 0, &, 1 
ein und vertauschen in 12) die Verticalreihen, so gelangen wir zu folgenden 
drei wesentlich verschiedenen P-Functionen, welche die Kugelfunctionen 
darstellen: 
1 05 o 
u u 
I) 72 >7 N 67 x . 
u u 
RD Ares 2 
ee) 1 N) 
\ v 4 © 
II) Rilasso, 2 ÜBEEZzNG 
„+1 u 1 \ 
Ser 2 
[6e) 1 0 
\ \ v v £ 
III) JE 2 2 u en X3 
v+l +1 
5) X 22,0 
Hierin sind die Variabeln x,, x, xs, wie folgt, definirt: 
Tee en ee 
"7,22 mm Dres 
Sie genügen der Riemann’'schen Relation 
en ——— 
ax, (1—x) 
welche man durch Elimination von x erhält. 
x — Ax3 (1 —-x3) = 
Als Zusammenhang der Verzweigungswerthe der vier Variabelen findet 
man den folgenden: Für x—= — 1, ©, ı wird u —=1,x,o. Die Punkte 
x — +1 liefern in der x;- und x;-Ebene den Punkt &. Aus x— » ergiebt 
sich x: — o, ausserdem aber ist x noch bei 1 verzweigt, ein Werth, der 
x — o entspricht. Für x; dagegen entstehen bei x — » die zwei singulären 
Stellen o und I dem doppelten Vorzeichen der Wurzel entsprechend. 
