Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 21 
Symbole unserer Function aufzufassen sind. Von denselben sind jedoch nur 
die P“, P-“, also 24 brauchbar, da eine Entwickelung für die wesentlich sin- 
suläre Stelle nicht existiren kann. Diese reduciren sich auf die Hälfte, weil 
eine Vertauschung von iv mit —iv keine Aenderung hervorruft. Diese 12 Sym- 
bole können nur dann eine wirkliche Darstellung der Cylinderfunetionen 
liefern, wenn sich der Grenzübergang vollziehen lässt, und es scheint mir, als 
ob hierzu die bestimmten Integrale, welche den betreffenden hypergeometrischen 
Reihen entsprechend sind, geeigneter wären. 
Aus den Relationen zwischen den contiguen Functionen kann man un- 
mittelbar die recurrenten Gleichungen zwischen den Kugelfunctionen und ihren 
Differentialquotienten, von denen eine grosse Anzahl in Herrn F. Neumanns 
Beiträgen zur 'T'heorie der Kugelfunetionen p. 60 ff. aufgestellt sind, und 
zwischen den Cylinderfunetionen nebst ihren Ableitungen finden und auf be- 
liebive Parameter ausdehnen. 
to) 
Se 
Die zu den singulären Punkten gehörigen Fundamentalsysteme und 
die Bedeutung der P, Q. 
Die P-Functionen lassen sich für die singulären Punkte durch Reihen 
darstellen, welche mit gewissen Potenzen von x multiplieirt, einändrig bleiben 
und weder 0 noch oo werden. Diese Reihen werden nach Fuchs!) die zum 
singulären Punkte gehörigen Fundamentalsysteme genannt. 
Es entsteht also die Frage, wie lauten diese Fundamentalsysteme für 
die P-Functionen I—IV des vorigen Paragraphen, und in welchem Zusammen- 
hange stehen sie mit den Kugel- resp. Cylinderfunetionen ? 
Wir führen dies betreffs der Kugelfunetionen nur für II) durch, da sich 
I) und III) analog behandeln lassen. 
Unter der Voraussetzung, dass keine der Exponentendifferenzen 
1 
v— N, 
der P-Function II) eine ganze Zahl, d. h. also, dass « keine ganze Zahl und 
!) Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. 
(Crelle 66, p. 121; 86, p. 354.) 
