26 R. Olbricht. 
Im Eingange dieses Paragraphen hatten wir festgesetzt, dass » nicht 
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die Form ?&+1 haben solle, unter k eine ganze Zahl verstanden. Nimmt es 
aber einen solchen Werth an, so verliert Ur: seine Bedeutung, da in der 
Reihe F - IT, 1, on 2) ein Glied auftritt, welches unend- 
lich wird. Ferner werden @,z und «'s wegen des Factors ee 
die übrigen Darstellungen bestehen bleiben. Daher gilt der Satz: 
Die Ausdrücke der Kugelfunetionen für die Werthe x=0 
und x = 1 bleiben bestehen für jeden Werth von » unter der Vor- 
null, während 
aussetzung, dass „ keine ganze Zahl bedeutet. 
Ist nun aber „ ganzzahlig, so wird ein Glied von V}, und «, und «, 
unendlich, die Darstellung im Punkte ı also illusorisch, während die anderen 
bestehen bleiben, wenn der in P und Q auftretende Factor T(u—,) einen end- 
lichen und von 0 verschiedenen Werth hat, d. h.: 
Bei ganzzahligem „ gelten die gewonnenen Darstellungen 
der Kugelfunetionen für die Punkte 0 und &, vorausgesetzt, dass » 
nicht ganzzahlig ist oder die Form ?X*! hat. 
Diese beiden Sätze folgen auch unmittelbar aus der Riemann’schen 
Theorie: Da nämlich die Exponentendifferenz des Punktes ı in der 
P- Function Il) nur von «, die des Punktes © nur von » abhängt, während 
die zu 0 gehörigen Exponenten von « und » frei sind, so kann ein Ganz- 
zahligwerden von „ auf die Darstellungen in den Punkten 0 und &, ebenso 
2K+1 auf die Darstellungen in den Punkten 0 und ı von 
2 
u 
ein Werden von v— 
keinem Einflusse sein. 
Besonders wichtig ist der Fall, dass „ und » ganzzahlig werden, also 
u=m,»v=n. U, und V, sind auch dann noch linear unabhängige Parti- 
culärintegrale. Die Gleichungen a) und b) haben aber wegen des Factors 
Tm—n) nur noch eine Bedeutung, wenn m >n ist. Sie geben folglich auch 
da noch Ausdrücke für die Kugelfunctionen. In diesem Falle wird a) (P,.) 
identisch mit dem T,; und b) (Q.m) identisch mit dem S,, des Herrn F. Neu- 
mann (Beiträge zur Theorie der Kugelfunctionen). 
Wird jedoch m < n, so können wir unsere Darstellungen nicht mehr 
gebrauchen. Die 'T'heorie der linearen Differentialgleichungen von Fuchs!) 
!) Siehe Anmerkung 1) 8. 21. 
