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Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 
und Hamburger!) und die Mittheilungen Spitzers und Borchardts im 
Crelle’schen Journal (t. 57) zeigen, dass dann im Allgemeinen die Partiewlär- 
integrale die folgende Gestalt haben: 
Vz aa 
ya = P« + log (x—a) Pe. 
Für die Kugelfunetionen insbesondere finden wir, wenn wir nur als 
bekannt voraussetzen, dass P, eine ganze Function n-ten Grades ist, das 
Folgende: 
Aus dem Abel’schen Satze, dass zwischen den linear unabhängigen 
partieulären Integralen y, und y, der Differentialgleichung 
tra tay=0 
die Relation besteht: 
R-HNn> 0,0 Pk 
ergiebt sich für die Integrale y = P,, yı = Q. der Differentialgleichung der 
Kugelfunctionen: 
a apa den, 
c) Qı = cr/ Pr 
Für den Punkt x = » kann die Function unter dem Integralzeichen 
in eine gleichmässig convergente Reihe nach Potenzen von =; deren erstes 
Glied -- = ist, entwickelt werden. Durch gliedweise Integration erhält man 
hieraus 
1 
Qu = Pı Jeren) 
oder nach Ausführung der Multiplication mit P, 
1 
a = jez] - 
Also ist das zum Punkte x — » gehörige Fundamentalsystem 
oe ee 
(3) ab). 
la. Ft 
= als) 
Betrachtet man jedoch die Gleichung e) für die Punkte x= +1, so 
| 
a 
\ 
erkennt man, dass bei der Integration der Reihe ein logaritlimisches Glied 
auftritt. Also hat man hierfür die Fundamentalsysteme 
!) Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit 
veränderlichen Coeffieienten. (Crelle 76, p. 113.) 
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