28 R. Olbrieht. 
I 
18%, Bı (x ar 1) 
= %ar)+Pı &tN)lg (Kr). 
Da nun die Zugeordneten für ganzzahlige Indices definirt sind durch: 
bei +1 
r 
2 d” Pn 
in la) 
gm Qn 
dx 
9 
Qım = 1 — x?) 
so ergiebt sich sofort bei das System: 
(m (2)" ale 
(= &*"rQ), 
l 
und nach einfacher Ueberlegung bei x 
| 
+| 
| Pa=(+9)? Bat, 
| Gm (tr) BRAND HB EN log sn}. 
Was diese Potenzreihen selbst betrifft, so sind dieselben durch die 
Theorie der gewöhnlichen Kugelfunctionen hinlänglich bekannt. 
Nunmehr bleibt noch übrig, dies auch für die ?-Function IV, also die 
Cylinderfunetionen, durchzuführen. 
Für dieselben können wir nur ein Fundamentalsystem, nämlich für den 
Punkt 0 haben, da der Punkt & eine wesentlich singwläre Stelle ist. Aus 
der P-Function folgt sofort bei beliebigem u 
Sl 
3 Ahle) 
Ist jedoch „ eine ganze Zahl, so tritt ebenfalls ein Logarithmus auf. 
bi 0 | 
Da wir nämlich gesehen haben, dass die Cylinderfunetionen durch einen ge- 
wissen Grenzprocess aus den Kugelfunctionen gewonnen werden, bei dem der 
singuläre Punkt ı nach 0 rückt, so erhält man für die ersteren im Punkte 0 
die analoge Darstellung, die für die letzteren im Punkte ı gilt, also 
a, 
x "7 (Rx) + logxYı (X). 
Betreffs dieser Potenzreihen verweise ich auf die schon erwähnten 
Schriften von Hankel, Lommel und C. Neumann über Cylinderfunctionen. 
