Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 29 
IL 
Abbildung des Quotienten der Kugel- und Öylinderfunetion 
erster und zweiter Art mit gleichen Indices. 
Sl 
Abbildung des Quotienten zweier Kugelfunctionen. 
Die in $ 3 des vorangehenden T'heiles gewonnenen Darstellungen 
können wir dazu benutzen, mit Hülfe der von Schwarz (Crelle 75, p. 292) 
gefundenen Resultate die Abbildung des Quotienten der Kugelfunetionen erster 
und zweiter Art mit gleichen Indices zu finden und dadurch neue Klarheit 
allerdings nur in speciellen Fällen zu gewinnen. Es wird daselbst p. 311 der 
Satz aufgestellt, dass der Quotient zweier linear unabhängiger Functionen 
P(#, w, v', x) für reelle #2, «2, »’2 die Halbebene x auf ein Kreisbogendreieck 
mit den Winkeln #, w, vr abbildet, in dessen Innerem keine Windungs- 
punkte auftreten können. Diesen Satz können wir sofort auf die drei P- Func- 
tionen, welche unsere Kugelfunetionen darstellen, anwenden. Dadurch finden wir: 
Der Quotient der beiden linear unabhängigen Kugel- 
funetionen, die aus I) und III) hervorgehen, bildet die Halbebene x, 
und x, auf ein gleichschenkeliges Kreisbogendreieck mit den 
Winkeln aux, 2»+1)r, ur bezüglich (r =, 5) z, 2um, K E - ab, wäh- 
rend die ?-Function II) auf ein rechtwinkeliges Dreieck führt, 
dessen andere Winkel die Werthe + 3) sc und w;r haben. 
b) 
Was die Gestaltung dieser Dreiecke bei reellem „ und » betrifft, so ist 
dieselbe, wenn man nur die an den Ecken entstehenden Windungen und die 
