34 R. Ölbricht. 
erhält w den Werth —i; nähert man sich dem Punkte » auf der negativen 
reellen Axe, so wird w— +i. Und bei näherer Betrachtung gilt für diese 
Function der Satz, den beispielsweise Herr Professor Klein in seinem Colleg 
iiber Funetionentheorie (gelesen Leipzig W-S. 80/S1) aufgestellt hat: 
Die w-Ebene wird vermöge der Function w=tgz mit un- 
endlich vielen Blättern überdeckt, welche beiw=ıundw= -—i 
im Oyelus zusammenhängen. 
Wir erhalten also hier als Zweieck das Stück der imaginären Axe 
von +i bis — i; in diesen Punkten sind die unendlich hohen Winkel, und bei 
w= 0 findet sich der Winkel [24], _,= «- 
Es bleibt noch übrig, die Frage zu beantworten, ob sich nicht der 
aufgestellte Satz auch aus der Theorie der Cylinderfunctionen ergiebt. 
Berechnet man die Ditferentialgleichung dritter Ordnung #(s,x), welche 
Schwarz für den Quotienten zweier P-Functionen aufgestellt hat, für die 
Cylinderfunetionen, so erhält man 
1—4u? 
een) 
Puls, x) = PR 2 
und hieraus folgt durch unmittelbare Anwendung der Schwarz’schen Ent- 
wickelungen und Sätze, dass der Winkel, der in der Ebene des Quotienten 
an der singwären Stelle x — 0 entsteht, 2u,r beträgt. Für die Umgebung 
des Punktes x — » hingegen existiren keine Entwickelungen, da derselbe eine 
wesentlich singuläre Stelle ist, in deren Nähe also die Function jeden be- 
liebigen Werth (höchstens mit Ausnahme von zweien) unendlich oft annimmt. 
Es entsteht aber die Frage, ob man nicht durch Annäherung an den Punkt 
x in bestimmter Richtung doch zu bestimmten Werthen kommen kann. 
Diese Frage wird von der Theorie der Üylinderfunetionen beantwortet !), 
indem dieselbe zeigt, dass jede Cylinderfunction erster oder zweiter Art, wenn 
man auf der reellen Axe ins Unendliche fortschreitet, den Werth 
Acosx + Bsinx 
x 
annimmt, wobei A und B Oonstante sind. Diese Werthe, die man also durch 
Annäherung an die wesentlich singuläre Stelle in bestimmter Richtung erhält, 
!) Hankel, Math. Annalen I, p.500. Die Cylinderfunctionen erster und zweiter Art. 
Lommel, Studien über die Besselschen Functionen, p. 108. Heine, Handbuch I, p. 247. 
C. Neumann, Theorie der Bessel’schen Functionen, p. 49 und 57. 
