36 R. Olbricht. 
IN. 
Der Verlauf der Kugel- und Üylinderfunetionen 
im reellen Gebiete. 
Disposition. 
In $ 4 des ersten 'Theiles erkannten wir, dass die Kugelfunctionen 
mit ganzzahligen Indices sich in zwei Gruppen trennen. Die eine wird ge- 
bildet von den Functionen, bei denen m <n ist, die andere von denen, wo 
m>n ist. Die Functionen der ersten Gruppe sind definirt durch 
3 n 
Ben = (1 —x?)? Fe ’ 
ın 
> ; NR Gt (A 
Qum = (Rd) Fe: 
wobei unter P, und Q, die gewöhnlichen Kugelfunctionen erster und zweiter 
Art zu verstehen sind. Da nun die Funetionen erster Art dieser Gruppe al- 
gebraisch, die zweiter Art transcendent sind, so haben wir zu behandeln, wenn 
m <n ist, 1) die Functionen P,.„, 2) die Functionen Q,. nebst den aus ihnen 
für den Fall m = 0 und n = » hervorgehenden Funetionen. 
Ist aber m > n, so gilt die Definition von P,,„ nicht mehr, da P, eine 
ganze Function n-ten Grades ist. Wir sahen, dass dann die von uns als 
Kugelfunctionen definirten Partieulärintegrale identisch mit den 8,; und T,; 
des Herrn F. Neumann wurden. Beide Functionen sind algebraisch. Wir 
behandeln sie in $ 3. Die Definition von Q,„ bleibt auch in diesem Falle 
noch bestehen. Diese Function muss sich also linear aus S und T zusammen- 
setzen. Es gilt 
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