Studien über die Kugel- und Oylinderfunctionen. 39 
Für m = 274-1 haben wir nach 2) die Gleichung 
y? = (1-x% (Gm)? = Gn; 
wo G eine ganze Function und der untere Index den Grad derselben bedeutet. 
Hieraus ergiebt sich durch Differentiation: 
m 
A: 
y—= (1—x2)? "G_n4ı oder 2yy = G.: 
Da nun G,, eine ganze Function n-ten Grades ist, deren Wurzeln reell sind 
und zwischen + ı liegen, so kann auch y’ nur für reelle Werthe von x ver- 
schwinden. G;„ ist vom Grade 2n—1; y verschwindet für n—m Werthe; 
also muss y’ für n—m-—1ı reelle Werthe von x verschwinden. Hierunter 
befinden sich aber 2 (m — 1) Wurzeln +1. Demnach bleiben auch hier n—m-+ 1 
Culminationspunkte. Diese sind jedoch, da doppelte Vorzeichen auftreten, 
zweimal zu rechnen. Genau dasselbe Verfahren können wir auf y’ anwenden, 
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um die Zahl der Wurzeln von y’ zu erhalten. Hieraus ergiebt sich: 
Die Curven haben, wenn m ungerade ist, 2n—m-+1) Culmi- 
nationspunkte und 2n—m-+2) Wendungen, bei denen allen der zu- 
gehörige Werth von x zwischen +1 liegt. 
Diese Sätze sind hinreichend, die Gestalten der Curven aufzustellen. 
Wir erhalten die sechs auf Tafel 1, 1) gezeichneten Figuren und finden für 
gegebenes n und m den zugehörigen Typus aus folgendem Schema: 
n— m gerade | n— m ungerade 
m —=D»/ m— 2/-+1 In Di 
= 2k 1 —=2k+i1) 
I | u | II 
Die gewöhnlichen Kugelfunetionen ergeben sich aus den Zugeordneten, 
wenn man m=0 Setzt. Dadurch verschwinden die Singularitäten in den 
Punkten + ı,. und die Functionen nehmen daselbst den Werth + ı an. Die 
eben aufgestellten Sätze modificiren sich leicht und lassen sich in den folgenden 
zusammenfassen : 
Die Curven y=P, schneiden die x-Axe n-mal in Punkten, 
die zwischen + ı gelegen sind, haben n— ı Culminationspunkte und 
n—2 Wendungen. Ist n gerade, so ist die y-Axe Symmetrieaxe:; 
