Studien über die Kugel- und Oylinderfunctionen. 41 
nun zunächst die Curven für Werthe von x, die grösser als eins sind, so er- 
kennen wir aus 2), dass für ungerades m die Curve imaginär wird. 
Die Reihe 2) ist für positives x immer positiv. Demnach ist das Zeichen 
von y durch xy)? bestimmt. Für gerades m gilt also: Die Curve ver- 
.. D .. . .ı* m . 
läuft für x>ı in der positiven Halbebene, wenn 5 gerade, und in 
der negativen, wenn ungerade ist. 
Da ferner 
Ve ei 
x—1 
G 9) . . . 
+ — „Ist, so erhält man bei m-facher 
Differentiation von Q, nach x ein Glied von der Form 
G 
(1—x?)” 
und der Differentialquotient von log 
IN Qum findet sich also ein Glied von der Form 
G 
=> 
(a—zajie] 
es wird also für x — + ı unendlich. 2) zeigt, dass y= 0 ist fürx—=«. 
Demnach gilt der Satz: 
Unsere Curven haben die Geraden + ı undy= 0 zu Asymptoten. 
Für die Culminationspunkte ist Q,. — 0. Dann ergiebt sich aus der 
Differentialgleichung 
—n(an+1)(1— x?) + m? 
(ae —, a — x?) Ian 
oder mit Hülfe von 1) 
B07, &®—1)n+1l)n+m? Ex = dA" Qn 
= — l x2))a ——, 
An (1 —z2)- ( ) da 
Hierin ist der erste und letzte Factor für unser Intervall immer positiv }), 
demnach ist das Vorzeichen von Q/, positiv oder negativ, je nachdem 5 gerade 
oder ungerade ist, d. h. unsere Curve kann im ersten Falle nur Minima, 
im letzten nur Maxima haben; da sie aber stetig vom Punkte x=1,y=»x 
bis x — x, y = 0 verläuft, so können Culminationspunkte überhaupt nicht 
auftreten, und Q/„ muss für alle Werthe von x> ı immer dasselbe Zeichen 
behalten, und zwar das entgegengesetzte von Qu. Dies ermöglicht es uns, die 
1) Most, Crelle 70, p. 168. 
Nova Acta LII. Nr. 1. 6 
