42 R. Olbricht. 
Frage nach den Wendepunkten zu beantworten. Nach der Differentialgleichung 
gilt für den zweiten Differentialquotienten: 
x 
BT 2. a n(n+1(x’—1)+m? 
de = — 7] mt MER as 
Er wird also nach dem, was über das Zeichen von Q;m bemerkt wurde, 
in unserem Intervall niemals null und hat dasselbe Zeichen als Q,„. Also gilt: 
Die Curven kehren im Intervalle 1 bis © ihren Asymptoten 
immer die convexe Krümmung zu. 
Nunmehr bleibt noch übrig, das Verhalten von y für -ı<x<+1 zu 
erörtern. Dann wird aber das logarithmische Glied imaginär, so dass nur 
reelle Punkte resultiren, wenn die Function verschwindet, mit welcher der 
Logaritlmus multiplieirt ist. Diese ist aber nichts anderes als 
m 
Ku 
x2)2 DE En - 
Gl == 
um 
Sie verschwindet also für die n—m symmetrisch zum Nullpunkte ge- 
m 
legenen Werthe von gu, 
dx” 
Also haben die Curven zwischenx= — I unddx=-+1 n—m 
isolirte Punkte, welche wegen der Vieldeutigkeit des Logarithmus 
von unendlich hoher Multiplicität sind. 
Berücksichtigt man endlich noch die aus 1 sich ergebende Relation 
am 2) = Nm), 
so findet man im Ganzen sechs Typen (Tafel 1, II), die sich für gegebenes n 
und m genau dem für die P,„ gegebenen Schema einordnen. 
Auch hier erhalten wir für m = 0 die gewöhnlichen Kugelfunetionen 
zweiter Art. Die eben gefundenen Sätze ändern sich leicht um, und man erhält: 
DieCurven y = Q, haben zwischen x—= +1 n isolirte Punkte 
von unendlich hoher Multiplieität, den Wurzeln von P„ entspre- 
chend, und tragen bei geradem n den Typus 2, I, bei ungeradem n 
den Typus 2, IV. 
n — x ergiebt, wie früher erwähnt, die Cylinderfunetionen zweiter 
Art Y„. Um die dieser Function zugehörigen Curven zu erhalten, betrachten 
wir zunächst die des Quotienten 
ya Yn PRERC 
m 
und suchen jene hieraus mit Hülfe der für die J„ gefundenen abzuleiten. 
