44 R. Olbrieht. 
S 3. 
Die Curven der Kugelfunctionen, wenn m > n ist. 
Die Functionen, welche bei m>n sich als zwei linear unabhängige 
Partieulärintegrale der Differentialgleichung der Kugelfunctionen ergaben und 
im Einklange mit unserer im I. Theile $ 4 gegebenen Definition der Kugel- 
funetionen stehen, nennt Herr F. Neumann S,„ und Tın- 
Vermöge der Gleichungen 
Fee 9 — CI) 
Ines ee), 
haben wir nur den Verlauf der Curven für positives x zu studiren. Dies 
lässt sich für T,„ direet durchführen, für S,,„ jedoch nicht, weil hierbei die 
Discussion einer Gleichung n-ten Grades mit alternirenden Vorzeichen er- 
forderlich ist und man über die Wurzelwerthe derselben von vornherein nichts 
aussagen kann. 
Weil aber die Beziehung existirt 
Qum — Sam — Tam 
und Q,„ durch geschlossene Ausdrücke darstellbar ist, so ergiebt sich von 
selbst folgender Weg der Untersuchung. Wir betrachten zunächst die Curven 
y= Qum, die sich leicht darstellen lassen, sodann die Curven y —= Tın für 
positives x und finden als deren Summe die Curven y = $,„ für positives x, 
woraus sich dann der Verlauf für negatives x mit Hilfe der Gleichungen 1) er- 
giebt. Zum Schlusse bleibt dann noch übrig, die Curven y = P,„n Zu zeichnen, 
welche wir oben als 
— Sam + Ion 
definirt haben. 
Die Function v = Q,„ ISt definirt durch 
J X 
n a ie A 
Or — ul >= (x" u Vs ne Br Re) h 
also durch eine endliche Reihe mit lauter positiven Coefficienten. Hieraus er- 
giebt sich sofort die Relation 
Om (— x) = (— Doye Ter Yon (X) 
und der Satz: 
Die Curven y= Qn haben die Geraden y=oundxs=+1 
zu Asymptoten. 
