Studien über die Kugel- und Oylinderfunctionen. 45 
Für die ersten zwei Differentialquotienten erhält man: 
m--2 
2 2 
=. s er =) (a %#15cCHib7e san = .) : 
m-+4 
I cr 1 z (ar gel + bh” Kam: + 
Te: a 2 >. 00 
Hierin sind die Coeffieienten ab’... a”b”... sämmtlich positiv, wie durch Aus- 
rechnen leicht eruirt werden kann. Ist m—n ungerade, so enthält die Reihe 
für y’ den Factor x, ist m—n gerade, so ist dies bei der Reihe für y und y” 
der Fall. Für reelle Werthe von x verschwindet also, abgesehen vom Werthe 
x—= 0, weder der erste noch der zweite Differentialquotient. Daher gilt 
der Satz: 
Die Curven y = Q.„m haben bei x = 0 und nur bei x—= 0 einen 
Culminationspunkt, wenn m—n ungerade ist, und einen Wendepunkt, 
wenn m—n gerade ist. 
Für x > ı wird das Vorzeichen von y durch den Factor (1 —x:) 
vo| E 
be- 
stimmt oder es ergeben sich für ungerades m imaginäre Werthe. Demnach gilt: 
Die Curve y= Q:, verläuft immer auf der positiven Seite 
der x-Axe, wenn A gerade, und auf der negativen, wenn / un- 
serade ist. 
Die Curven x—= Q..+ı Sind nur reell für Werthe von x, 
die zwischen +1 liegen und bestehen den beiden Werthen von 
een dd, entsprechend aus zwei Zügen. 
Diese Angaben sind hinreichend, die Gestalten der Curven angeben zu 
können. Sie theilen sich im Wesentlichen in sechs Typen (Tafel 2, IID, 
welche sich dem p. 39 aufgestellten Schema einordnen. 
Wir kommen jetzt zu den Curven y—=1T,„. Dafür gilt innerhalb 
des Einheitskreises die Entwickelung 
m 
yet Da—y2[ia +» x?+auxt+ a = (au x+33x°+ >| 
oder der geschlossene Ausdruck 
/ 
Re = (x—ı zb ne ee 
DEN) il) En tat tal - ) }, 
w|E 
r4 u 
worin alle Coefficienten positiv sind. Aus dieser Definition folgt unmittelbar: 
