46 R. Olbricht. 
Ist m = 24+1, so wird die Curve T,„ für Werthe von x, die 
srösser als 1 sind, imaginär, während sie für —ı<x<ı aus 
zwei Zügen besteht, die symmetrisch zur x-Axe gelegen sind. 
Für x — 0 bleibt y endlich, für x = ı ist y—=0. Da nun aber für 
diesen Werth, wenn m = 24 ist, die (— 1) ersten, und wenn m—=27-+ 1 ist, 
die 7 ersten Ableitungen verschwinden, so folgt: 
Bei x= ı hat die Curve y= Tı,:ı 4 Punkte mit der x-Axe 
gemein und y= T,sı+1 eine Spitze. 
Verschwände in dem Intervall 0 bis 1 der erste Differentialquotient, 
so hätte man zufolge der Differentialgleichung: 
pr __ —nam+1l)(1—x’)+m’m 
Tin = sn 
Der Factor —n(n-+1)(1—x2)-+m?2 bleibt immer positiv; denn der grüsste 
Werth von 1— x? ist hier 1 und weil m >n, also mindestens m — n +1 ist, 
nanm*® 
so erhält man die Ungleichung 
a+1)?>nGa-1). 
Demnach hat T/, dasselbe Zeichen als T,„, und da aus 2) folgt, dass T,. für 
unser Intervall positiv ist oder negativ, je nachdem n gerade oder ungerade 
ist, so kann unsere Curve, wenn n gerade ist, nur Minima, wenn 
n ungerade, nur Maxima haben. Wir haben aber eben gesehen, dass 
die Curve bei x — ı an die x-Axe herankommt, sonst aber entweder auf der 
positiven oder negativen Seite derselben liegt; also kann weder Maximum 
noch Minimum auftreten, woraus folgt, dass T/„ das entgegengesetzte Zeichen 
von Tım hat. Die Curve hat aber auch keinen Wendepunkt. Um 
dies nachzuweisen, muss gezeigt werden, dass 
AR 2x ‚, -ıan+1N)(1—x?)+m? x 
© 7 ; -VzZ 
e 3) el: (1—x°)’ =. 
ist. 
Die Gleichung 2) können wir schreiben: 
zu 
n{[1—x 5 = 
y=(-I) = Gn, 
m 
also = 
el) 
Ist n gerade, so ist y positiv, y’ negativ, also: 
1 SER 
Gn < 1 An; 
