Studien über die Kugel- und Cylinderfunctionen. 47 
daraus erhalten wir durch Substitution in 3): 
\ BET 2 EN 5 ’ 
nn+1)( x a rd 
1—x? 1—3 
mx 
x 1— x’ 
setzen, y” bleibt also für unser Intervall immer positiv, wenn y positiv ist, 
G„ ein- 
Die rechte Seite wird 0, wenn wir für G, den grösseren Werth 
oder, wie ganz analog für ungerades n geschlossen wird, negativ, wenn y 
negativ ist. 
Geht nun x von ı bis oo (m als gerade vorausgesetzt), so ergiebt sich 
genau wie vorhin, dass die erste Ableitung dasselbe Zeichen als y hat, wenn 
man nur beachtet, dass y für x= x auch »o wird. Für die zweite Ableitung 
erhält man dann dasselbe Resultat, wenn man die Form 
successive differentürt und die Vorzeichen von y und y’ in Rücksicht zieht. 
y selbst ist positiv, wenn = gerade und n gerade oder = ungerade und n un- 
gerade ist, sonst negativ. D 5 
Demgemäss erhalten wir die sechs (Tafel 2, I) gezeichneten Typen. 
UI und VI sind nur dadurch verschieden, dass bei geradem n der obere Zug 
den positiven Wurzelwerthen, der untere den negativen entspricht, während 
dies bei ungeradem n umgekehrt ist. 
Es bleibt nun nur noch übrig, die Curven y—= S,„ zu finden. Da 
wir aber die Definition haben S,n = Qum + Tam; So haben wir nur nöthig, 
die Curven Q,„ mit denen von T,,, zusammenzunehmen, die mit gleicher Zahl 
bezeichnet sind. Wir erhalten auf diese Weise ebenfalls sechs Hauptformen 
(Tafel 2, I). Bei Aufstellung derselben könnte man nur im Zweifel sein, ob 
diejenigen Curventheile richtig gezeichnet sind, die zwischen den Geraden x = 0 
und x —= ı liegen. Denn möglicher Weise könnte ein Minimum auftreten. 
Aus der Definitionsgleichung 
m 
& ER, x+1\?fı nm+l) x+1 n ı; 
Sn = ce) Dee 
folgt jedoch mit Hülfe der Differentialgleichung, dass für y' = 0 y’ dasselbe 
Zeichen als y hat. Es könnte also nur ein Culminationspunkt auftreten, wenn 
y für x = 0 und x = 1 entgegengesetzte Zeichen hätte. Dies ist aber nicht 
der Fall. 
