Ueber das Normalensystem und die Centrafläche algebr. Flächen etc. (p.i) 291 
dessen Polnormale durch den Scheitel s des Bündels geht. Diese Curve schneidet 
F in den Punkten, deren Normalen durch s gehen.!) 
Im Folgenden untersuchen wir die Bedingungen, unter welchen die 
Fussfläche einer Geraden 9 einen Doppelpunkt erhält und werden zwei Fälle 
zu unterscheiden haben, je nachdem der Doppelpunkt auf g liegt oder nicht. 
2. Fussflächen mit Doppelpunkt auf 9. 
Liegt der Doppelpunkt m auf g, so wird der Schnitt $ von 9° mit 
einer Ebene durch 9 zerfallen in g und eine Curve, welche durch m geht. 
m liegt daher nach Art. 1 auf allen ersten Polarflächen der Punkte der ab- 
soluten Polare y’ von g, woraus folgt, dass die lineare Polare von m die Ge- 
rade g’ enthält, die Gerade 9 also Polnormale von m ist. 
Ist umgekehrt g Polnormale eines Punktes m, so wird g’ in m einen 
Doppelpunkt besitzen; denn die Basiscurven der beiden Büschel, welche 9’ 
erzeugen, werden sich hier in m schneiden; demnach: 
„Dann und nur dann, wenn eine Gerade Polnormale ist, hat 
die Fussfläche einen Doppelpunkt auf der Geraden, und zwar im 
Pole, 
Die Verbindungslinien des Doppelpunktes m mit seinen Nachbarpunkten 
auf y’, deren Polnormalen y schneiden, erfüllen einen Kegel zweiter Ordnung, 
den Oseulationskegel des Doppelpunktes, welchen wir aus gleich zu erörternden 
sründen „Axenkegel" des Punktes m nennen wollen. Liegt m auf F, so 
wird dieser Kegel aus der Tangentialebene von m 2 Gerade ausschneiden; 
die Polnormalen der Nachbarpunkte von m auf diesen Tlangenten, welche hier 
Normalen von F sind, müssen die Normale von m schneiden. Daher schneidet 
der Axenkegel für einen Punkt von F die Tangentialebene desselben in den 
Hauptkrümmungstangenten. 
Der Axenkegel wird, wie aus der projeetiven Erzeugung von 4” folet, 
erzeugt durch zwei projective Ebenenbüschel, indem man einer Ebene E 
durch g die Tlangentialebene des Punktes m derjenigen Polarfläche zuordnet, 
deren Pol der absolute Pol z von E ist. Da nun diese Trangentialebene die 
1) Vergl. Steiner, Ueber alg. Curven und Flächen. Crelles Journal Bd. 49, S. 333 oder 
Werke I. 8. 621. 
