Ueber das Normalensystem und die Oentrafläche algebr. Flächen etc. (p. 11) 295 
„Nun beweisen wir, dass hierbei jeder Tangente der Centra- 
fläche eine Fussfläche entspricht, welche die gegebene Fläche F 
berührt und umgekehrt.“ 
Es sei n die Normale eines Punktes von F und n,, ns seien ihre 
Nachbarnormalen, die sie in den beiden Hauptkrümmungscentren c;,c, schneiden. 
Die Fussfläche einer Geraden, welche durch c, resp. c, geht und n, 
resp. n, schneidet, geht dann durch die Fusspunkte der 3 Normalen », n,, ns 
und muss demnach F in p berühren; solche Geraden sind aber bekanntlich 
Tangenten der Centrafläche. 
Um nun auch die Umkehrung zu beweisen, beachten wir, dass die 
Tangentialebenen der Centrafläche, welche durch eine Gerade gehen, erhalten 
werden, indem man an den Schnitt der Fussfläche y’ mit F die Tangential- 
ebenen legt; hat diese Curve einen Doppelpunkt, was der Fall ist, wenn g’ 
die Fläche F berührt, so werden zwei der Tangentialebenen zusammenfallen 
und g wird Tangente der Centrafläche werden. Oder wir zeigen, dass jede 
Gerade g, deren Fusstläche g’ die Fläche F in p berührt, nothwendig in 
einem der obigen Strahlenbüschel (c,), (c,) von Tangenten der Centrafläche 
enthalten sein muss. Für eine solche Fläche 9 müssen die Gleichungen gelten: 
Pu Ip a2 Fi 
F F F; F, 
woraus sich drei für die Coordinaten von g lineare Bedingungen ergeben, so 
dass g dem Schnitt der durch sie dargestellten drei linearen Complexe oder 
einer Regeltläche zweiter Ordnung angehören muss. Da nun die beiden Strahlen- 
büschel (c,) und (cs) schon eine Regelfläche zweiter Ordnung bilden, so giebt 
es ausser ihren Strahlen keine anderen, deren Fussfläche in p berührte. 
„Die Normale in p wird, als beiden Büscheln angehörig, 
Doppeltangente der Centrafläche sein; soll aber eine der Tangenten 
in c, Doppeltangente der Öentrafläche sein, so muss ihre Fuss- 
fläche die gegebene Fläche in zwei Punkten berühren und um- 
gekehrt.“ 
„Doll eine Gerade Inflectionstangente der Üentrafläche 
sein, so muss ihre Fussfläche die gegebene Fläche in zwei auf 
einander folgenden Punkten oder stationär berühren.“ 
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