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zählt. Wir setzen hierzu als bekannt voraus, dass dies gilt für eine Fläche, 
deren Doppelpunkt auf der Basiscurve des Büschels liegt und beachten dann, 
dass hier diese Curve zerfällt in die Curve ©, die Ort des Punktes 
ist, dessen Polnormale durch den Scheitel s geht, und in den Schnitt der 
Ebene des Bischels mit der ersten Polarfläche ihres absoluten Poles; die 
Schnittpunkte beider Curven sind die Punkte, deren Polnormalen dem Büschel (s) 
angehören. Da nun die Fussfläche einer solchen Polnormale in deren Pol 
einen Doppelpunkt besitzt, so ist sie eine der angeführten Flächen. Es ist also 
Din ar Jel,s“ 
Da die Curve C nach Obigem die Ordnung »®—(n—ı) hat, so ist 
n®—n die Ordnung des Polnormalencomplexes, und da 4,— 0 ein Complex 
von der Ordnung 4(n — 1)3 ist, so folgt 
4 (n — 1)? — nn —1) 
als Rang der Singularitätenfläche A, des Polnormalencomplexes. — 
Soll a = o Doppelwurzel der Gleichung 1) sein, so wird g” entweder 
1) einen Doppelpunkt d auf F haben, 
oder 2) zwei Doppelpunkte d,, ds, 
oder 3) einen Biplanarpunkt d besitzen müssen. 
Nothwendig und hinreichend ist hierfür, dass g den beiden Complexen 4, und 
A,_, angehört. 
Ad 1) sind dann zwei Fälle zu unterscheiden: entweder liegt a) d auf 
g, wo nach Art. 2 g Polnormale oder — da d auf F liegt — Normale von 
F ist; es ergiebt sich daher: 
„Die Normalencongruenz gehört dem Schnitte von 4,_, mit 
Pan“ 
Oder b) d liegt nicht auf 9, und dann ist g nach Art. 3 Tangente von 
H, in einem Punkte m; weil aber g’ in d einen Doppelpunkt hat, so muss g 
auch Tangente der Centrafläche sein. Letzteres gilt für jede Gerade des 
Büschels (m), dem g und die Normale » in d angehört; denn die Fussfläche 
einer solehen Geraden hat in d einen Doppelpunkt, weil die beiden Flächen 
g’ und g", deren Büschel sie angehört, in d Doppelpunkte besitzen. Man hat 
also: 
„Die Singularitätenfläche H, des Polnormalencomplexes be- 
rührt die Centrafläche längs der Curve, welche der Ort eines der 
beiden Hauptkrümmungscentren derjenigen Punkte von 4 ist, 
