Ueber das Normalensystem und die Oentrafläche algebr. Flächen etc. (p. 15) 299 
welche auch auf dem Hauptschnitte von F, d. i. dem Schnitte mit A, 
liegen. Die Tangenten der Centrafläche in den Punkten dieser 
Curve gehören dem Schnitte von 4,_, und A, an.“ 
Ad 2) ergeben sich drei Fälle: 
a) die beiden Doppelpunkte d,, d, liegen auf g, 
b) d, liegt auf g, d, nicht, 
c) d, und d, liegen beide nicht auf 9. 
Im Falle a) erhält man eine Gerade, welche für zwei ihrer Punkte Pol- 
normale oder „Doppelpolnormale“ ist. Diese wird nicht Tangente von H, 
sein, so dass man hat: 
„Der vollständige Schnitt des Complexes 4, mit dem Pol- 
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normalencomplexe, dessen Strahlen die Singularitätenfläche des 
letzteren nicht berühren, besteht aus der Normalen- und der 
Doppelpolnormalencongruenz von F“ 
Im Falle b) erhält man die dem Polnormaleneomplexe angehörigen Tan- 
genten seiner Singularitätenfläche A,; dieselben gehören demnach gleichzeitig 
den drei Complexen P, 4,_, und H, an. 
Im Falle ce) ergeben sich die Doppeltangenten von H,; diese gehören 
P nicht an, wohl aber den Complexen 4, , und B,. 
Ad 3) hat man zwei Fälle: a) ö liegt auf 9, b) d liegt nicht auf g. 
Im Falle a) wird ö der Pol sein, für welchen 9 Polnormale ist; hier wird 
aber der Axenkegel des Punktes öd nach Voraussetzung zerfallen müssen, d.h. 
ö wird mit einem Punkte m, (s. Art. 3) der Fläche 4, identisch sein. Die 
Gerade g wird demnach mit der Geraden m, m, zusammenfallen, also zur 
Congruenz singulärer Polnormalen gehören. 
Liest im Falle b) ö nicht auf g, so muss g die Fläche 4, in einem 
Punkte, z. B. ms, berühren. Da nun die Fussflächen sämmtlicher die Fläche 
H, in m; berührender Tangenten ein Büschel bilden und in dem entsprechenden 
Punkte m, einen Doppelpunkt haben, so haben drei dieser Flächen dort Bi- 
planarpunkte. Eine derselben rührt von der (singulären) Polnormale des 
Punktes m, her, „die beiden anderen von Infleetionstangenten der Fläche 5“, 
denn diese Geraden müssen F, in zwei auf einander folgenden Punkten be- 
rühren, da ihre Fussfläche im Biplanarpunkt zwei auf einander folgende Doppel- 
punkte hat. 
