302 Emil Waelsch. (p. 18) 
füllt“. Da ferner in einer Ebene zwei Normalen der F, liegen, welche z.B. 
zwei rechte Normalenparaboloide bestimmen, so ist jedes dieser Strahlen- 
systeme von 2ter Classe. 
Eine Erzeugende von F,, welche den absoluten Kegelschnitt schneidet, 
enthält drei „Umbilical- oder Kreispunkte“ der F,, sie werde „Um- 
bilicalerzeugende“ genannt. Die Normalen in den Punkten einer Um- 
bilicalerzeugenden liegen in einer den absoluten Kegelschnitt berührenden 
Ebene, einer „Umbilicalebene“, welche die Ebenen des Haupttetraeders in 
den Normalen der Kreispunkte und die Kanten desselben in den sogenannten 
„Focaleentren“ schneidet (die Focalcentren auf den unendlich fernen Kanten 
sind die absoluten Pole der Kreisschnittebenen von F,). Wir wollen demnach 
das 'T'etraeder, welches von den vier rechten resp. vier linken Umbiliealebenen 
gebildet wird, das „rechte resp. linke Focaltetraeder‘“ nennen. 
Da nun eine beliebige Gerade einer Umbilicalebene einem der obigen 
quadratischen Complexe angehört, weil ihre Fussfläche die Umbiliealerzeugende 
enthält, so sind die Ebenen eines Focaltetraeders singuläre Ebenen für einen 
dieser Complexe; derselbe ist also tetraedral. Wegen dieser singulären Ebenen 
mögen die beiden quadratischen Complexe „Umbilicalecomplexe der Fy“ 
heissen. 
Eine Gerade einer Umbilicalebene muss aber aus dem angeführten 
Grunde auch dem Complexe 4, — 0 angehören, weshalb die Ebenen der 
beiden Focaltetraeder, und demnach auch die Focalcentren, singulär für diesen 
Complex sind; wir nennen diesen Complex deswegen den „Focalcomplex 
der #,,. 
Da durch einen Punkt nach der Formel des Art. 6 25 Doppeltangenten 
der Centrafläche gehen, so giebt es ausser den angeführten Systemen noch 
ein Doppeltangentensystem x von 10ter Ordnung; dasselbe wird erfüllt von 
den Geraden, deren Fussfläche die F, doppelt berührt, wobei aber die Schnitt- 
curve der beiden Flächen in zwei Kegelschnitte zerfallen muss. 
9. Die Infleetionstangenten und der Büschel (4, 4,). 
Auch für die Inflectionstangenten der Centrafläche spielt der Complex- 
büschel (4, 4,) eine Rolle; dieselben sind nämlich nach Art. 5 diejenigen 
Geraden g, deren Fussfläche g’ die gegebene Fläche stationär berührt, für 
