312 Emil Waelsch. (p. 28) 
„Die Grenzfläche der Transversalencongruenz ist mit ihrer 
Brennfläche identisch.“ 
Während bei einer Congruenz von Normalen einer Fläche die Grenz- 
punkte eines Strahles mit seinen Brennpunkten zusammenfallen, hat also diese 
Congruenz die Eigenschaft, dass ihre Grenzpunkte Brennpunkte für andere 
ihrer Strahlen sind. Es ergiebt sich hier die Frage nach anderen Uongruenzen 
mit auf diese Weise identischen Brenn- und Grenzflächen. 
Die Grenzpunkte eines Strahles » auf einer 'T’ransversalfläche F, liegen 
auf der sphärischen Curve, in welcher die Brennfläche ausser der Ourve, in 
der sie F, berührt, die Fläche 7, noch schneidet. Diese Curve ist die 
„Cuspidalpunktseurve der 7“, d. i. der Ort der Cuspidalpunkte 
aller für die Transversalen r von F, gebildeten Regelflächen R; sie ist die 
Orthogonalpunktscurve einer 2ten Fläche 7’, welche der Ort der Cuspidal- 
erzeugenden der Regelflächen R ist. 
Sollen die drei durch einen Punkt s gehenden Transversalflächen in 
eine Fläche zusammenfallen, so muss der 2t° Differentialquotient nach u der 
rechten Seite der Gleichung der 'T'ransversalschaar 
(u. +..-- (u - WW), —- Wu, —- WR — 0, 
nämlich «4-+u2+ us verschwinden, d. h. es muss für die Fläche 
1 1 10 ö 
a,4,4, e + an rn) —=0 
sein. Die Fläche muss demnach einem Polardreieck des absoluten Kegel- 
schnittes umschrieben oder, wie man auch sagt, „gleichseitig‘“ sein, sie muss 
unendlich viele Tripel von zu einander senkrechten Erzeugenden enthalten. 
Ist 7 — 0 die Gleichung dieser Fläche, so lässt sich die Gleichung der 
Brennfläche der 'Transversalencongruenzen darstellen in der Form: 
ce —_ RK —=0, 
wobei X — 0 die Gleichung der Kugel ist, welche aus 7 die Orthogonal- 
punktscurve, die hier mit der Cuspidalpunktseurve identisch ist, ausschneidet; 
denn diese Curve ist Rückkehreurve der Brennfläche, mit den 'Tangential- 
ebenen von H als Rückkehrtangentialebenen. Durch jeden Punkt dieser 
Rickkehreurve gehen drei unendlich nahe rechte und drei unendlich nahe 
linke Transversale, welche mit den Erzeugenden von H zusammenfallen. 
—t—. 
