Das Gleichungssystem (1) besitzt k Wurzelsysteme 



Alle diese kann man durch die Lösung einer einzigen Gleichung 

 erlangen. Setzt man nämlich die Substitution an 



(0 = XX + Xy + |xz + • . • , 



'\ = ^^a + '^^a + I'-^a + • • • ' (a = 1, 2, . . . k), 

 wobei X, X, [x, . . . unbestimmte gewichtlose Parameter sind, dann 

 besteht für (o eine Gleichung k*®"^ Grades. 



(2) p^ . co^ - p,(x, X, . . ) . cok-1 -]- p.^(x, X, . . ) . co'<-2 -... = (). 



Hierin sind die Coefficienten p^^ , p^, p.^, . . ganze Functionen 



sämtlicher Reihen a^, a.,, . . . a^ und zwar sind sie homogen in 



k 

 den a^ vom Grade :^ ; es ist ferner p^ von den Parametern frei, 



während p eine homogene Function \i^^^ Grades von ihnen ist. 

 Ferner ist p^ isobarisch in den a vom Gewichte o, und p vom 

 Gewichte |jl. Für allgemeine Functionen ist p^ irreductibel und 

 nicht identisch gleich Null. Das Verschwinden von p^ ist charak- 

 teristisch dafür, dass die a homogenen Gleichungen, die aus (1) 

 entstehen, wenn man nur die Glieder höchster Dimension beibe- 

 hält, ein gemeinsames Wurzelsystem besitzen, welches von dem 

 banalen x = o, y = o, ... verschieden ist. p^ ist also die 

 Resultante dieser a homogenen Gleichungen mit a Variablen, oder 

 auch von a nicht homogenen Gleichungen mit (a — 1) Variablen. 

 Wir setzen, was für a = 2 fest steht, die Irreductibilität von 

 P^^ bei allgemeinen Coefficienten voraus. 



Jede ganze symmetrische Function kann als gebrochene 

 Function der a dargestellt werden, deren Nenner eine Potenz von 



Po i^t- 



Es sei nun eine neue Gleichung g (x, y, . . .) = o derselben 

 Veränderlichen x, y, . . . mit den Coefficienten b gegeben. Die 

 Dimension von g sei n, und den Coefficienten b mögen solche 

 Gewichte beigelegt werden, dass jedes einzelne Glied von g das 

 gleiche Gewicht n besitzt, wie die Function selbst. Nun bilden 

 wir das Product der Functionalwerte 



(3) ng(x^,y^,. . .) (« = 1, 2, . . . k). 



Diese Function ist homogen in den b vom Homogeneitäts- 

 grade k; sie ist isobarisch in den b, x, y, . , vom Gewichte kn ; 



