— 40 — 



gebrochene Functionen der a/, a.^, . . bezw. der a/', a.^, . . . 

 aus, dann treten zwei Hauptnenner, etwa a beim ersten und x 

 beim zweiten Producte auf. Es ist klar, dass der Hauptnenner 

 der linken Seite ein Teiler des Products a*^ x sein muss. 

 Bedenkt man aber, dass a und x irreductibel sind, so dass bei a 

 kein Factor vorbanden sein kann, der nur die a/ enthält, und 

 bei X keiner, der nur die a/' enthält; und ferner, dass das erste 

 Product frei von den a,", das zweite von den a/ ist, so folgt, 

 dass kein o sich gegen den Zähler des zweiten Products wegheben 

 kann, u. s. w., so dass also aucli links derselbe Hauptnenner 

 stehen muss. Damit ist die Formel (6) bewiesen. 



Mit Hülfe von (5) und (6) können wir die Irreductibilität von 

 R nachweisen. 



Gesetzt für ein Sj^stem der allgemeinen f^ von den Dimen- 

 sionen m^ gäbe es ein allgemeines g von der Dimension n, für 

 welches R zerlegt werden könnte, so nehmen wir n so klein als 

 möglich an, d. h. wir wählen es so, dass bei Festhaltung der 

 f kein allgemeines g von geringerer Dimension als n noch ein 

 reductibles R besitzt. Es sei für diese Festsetzungen 



(7) R = R, . R,, 



wobei Rj und R., ganz in den a und in den b sind. 



Nun setzen wir statt der allgemeinen Function g das Pro- 

 duct zweier allgemeinen Functionen g', g" ein, deren Gradzahlen 

 die Summe n haben. Dabei gehen die Coefficienten b in bilineare 

 Functionen der neuen Coefficienten b' und b" über. Trägt man 

 diese in (7) ein und benutzt (5), so entsteht 



R, . R, = R (f„ . . . ; g'). R (f„ . . . ; g"). 



Der Annahme nach sind beide Factoren der rechten Seite irre- 

 ductibel; sie sind folglich einzeln gleich den, nun ebenfalls als 

 irreductibel erkannten Functionen Rj und R.,. Hierin liegt aber ein 

 Widerspruch. Es enthält nämlich jeder einzelne Factor links beide 

 Coefficientenreihen b' und b" in bilinearer Verbindung, so dass 

 nicht etwa die eine fehlen kann. Rechts dagegen enthält der 

 erste Factor nur die b', der zweite nur die b". Diesem Wider- 

 spruch können wir nur dadurch ausweichen, dass wir n = 1 

 nehmen; denn dann ist g nicht mehr in Factoren zerfällbar. 



