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Genau so folgt diircli Verwendung von (6), wenn wir nun 

 die Grade ni«, . . . m^ ; n = 1 festhalten und m^ so klein als 

 möglicli unter Festhaltung- der Zerlegungsmöglichkeit für R 

 wählen, dass der Mininialwert von ni^ gleich 1 wird. Gleiches 

 folgt auf demselben Wege für alle m^ . 



Ist also überhaupt die Function R für irgend ein System 

 allgemeiner Functionen der Dimensionen m^, m^, , . . m^, u zer- 

 legbar, so gilt der gleiche Satz auch für das R eines allgemeinen 

 Systems linearer Functionen. Dieses R ist die Determinante 

 derselben und als solche irreductibel, wie leicht zu beweisen. 



Wir wählen dazu den Inductionsschluss von v auf (v -f !)• 

 Für eine Determinante von 2 Elementenreihen ist der Satz klar; 

 er sei bereits für v Reihen als richtig erkannt. Wir entwickeln 

 die Determinante (v -j- ly^^ Ordnung, von welcher die Unzerfäll- 

 barkeit hergeleitet werden soll, nach den Elementen einer Spalte ; 

 da diese Elemente von einander unabhängig sind, so kann eine 

 Zerfällung der Determinante nur dadurch eintreten, dass alle 

 Adjuncten der Elemente der ersten Spalte einen gemeinsamen 

 Teiler besitzen, also, da sie der Voraussetzung nach irreductibel 

 sind, dass sie auch übereinstimmen. Das ist unmöglich, weil je 

 zwei immer eine besondere Elementenzeile haben. 



Aus alle dem folgt: Die Resultante allgemeiner 

 Gleichungen ist irreductibel. 



Es ist nun noch die Ausnahmestellung von g zu beseitigen. 

 Bisher war sie notwendig, denn die Benutzung der Wurzelsysteme 

 zeigt, dass es durchaus nicht klar ist, man könne g mit einem 

 f^ vertauschen. Bei einer Variablen trat die hier fehlende 

 Factorenzerlegung ein, so dass dabei die Gleichberechtigung von 

 selbst heraustrat. Die Gleiche muss hier bewiesen werden. 



Jede auf die eine oder die andere Art aus t\, . . . g herge- 

 stellte Function R liefert durch ihr Verschwinden die characte- 

 ristische Bedingung dafür, dass die (a -[- 1) Gleichungen 

 f^ = 0, t = 0, . . . f^ = 0, g = 



mindestens ein gemeinsames Wurzelsystem besitzen. Verschwindet 

 sonach die eine für irgend ein Wertsystem der Coefficienten, so 

 verschwindet die andere für dasselbe. Nach einem bekannten 

 Satze stimmen somit beide in ihren irreductiblen Factoren überein, 

 und nach dem oben bewiesenen Satze über ihre Zerfällbarkeit sind 

 sie bis auf einen Zahlenfactor mit einander identisch. Jetzt erst ist 

 der Ausdruck „Resultante des Gleichungssystems" gerechtfertigt. 



