t — (x -j- 'k -\- [j.). Ferner soll z das G. G. 1 haben. Dann hat nach 

 unserem obigen Resultate die Eliminante E(z) das G. G. pat. 

 Dasselbe bleibt bestehen, wenn wir vermittels der Liouville- 

 schen Substitution 



(0 = UjX -f u._,y -|- U.5Z 



an Stelle Ton z in (12) <o einführen und dann die Eliminante 

 R(co) bilden. Daraus folgt dann wie oben, dass par der Wurzeln 

 des Systems (12) in allen drei Coordinateu die G. G. 1 besitzen. 

 Folglich gelten, entsprechend modificirt, die obigen Sätze über 

 symmetrische Functionen u. s. w. 



In derselben Weise kiuinen wir zu mehr Variablen aufsteigen, 

 indem immer nur die verwendeten Schlüsse wiederholt werden. 

 Unsere Methode zeigt uns also die Gültigkeit des allgemeinen 

 Satzes: Geben wir den Variablen z^, z.,, . . . Zq in den 

 Gleichungen 



(13) fx(zi,z,, ... z„) = (X = 1, 2, ...m) 



die GeAvichte 1 und den Coeffi cienten solche G. G., dass 

 jedes f,^ das G. G. p^ erhält, dann haben (p,. p., ... pm) der 

 Wurzeln des Systems (13) in ihren m (U)ordinaten das 

 G. G. 1. 



Von diesem allgemeinen Satze machen Avir eine Anwendung, 

 indem wir alle diejenigen Coefficienten in jedem f^ gleich Null 

 setzen, deren zugehörige Potenz-Produkte geringere Dimension 

 haben als py beträgt. Die übrigen Coefficienten nehmen wir als 

 constant mit dem Gewichte an. Tragen wir wieder statt Zm 



03 = U^Zj + U._,Z.2 + . . . -f UmZm 



ein und berechnen die Eliminante R(o)), so ist ihr G. G. auch 

 PaP-2 • • • prn; da aber alle hier vorkommenden Coefficienten ganze 

 Functionen unserer Constanten sind, so ist dies nur möglich, wenn 

 Glieder w'^, bei denen X < (p,p._, . . . p^) ist, überhaupt nicht auf- 

 treten. Das zeigt: Ist (0, 0, ... 0) eine p, -fache Wurzel 

 von i] = (>^ = 1, 2, ... m), dann ist (0, 0, ... 0) eine 

 (p]P.> . . . pm)-fache Wurzel des Gleichungs-Systems (13). 



Durch diesen Satz haben wir nur eine untere Grenze für 

 die Multiplicität angegeben. Es lassen sich aber sofort Fälle 

 construiren, für welche diese Grenze auch nicht überschritten 

 wird. Dazu reicht es z. B. aus, jedes fy nur von der einen Variablen 

 Zx abhängig zu machen und dafür zu sorgen, dass z X = genau 



