22 REPORT—1857. 
dz 
efficients ae &c. are equal to each other, or differ only in their sign, viz. 
a, 
dx 
dp’ 
dz da’ dx_da dz'_da' Ow' da 
da dx!’ da! du!’ da dx’ Oa — dx’ 
thirty-six equations in all, viz. the pair a, a! of corresponding elements may 
be replaced by the pair (, 6! or y, y': and then in each of the twelve equa- 
tions y,y' or z,2' may be written instead of 2,2’. The like applies to a 
system of constants which are the initial values of any system whatever of 
coordinates p, .., and the initial values of the differential coefficients — 
&c. of the force function T with respect to p,..; and for every system of 
elements which possess the property first mentioned, the formule for the varia- 
tions assume the simplest possible form, inasmuch as the variation of each 
element is equal to a single partial differential coefficient of the disturbing 
function with the coefficient +1 or —1, as is known to be the case with the 
last-mentioned system of elements; in other words, if a,... and b,... bea 
system of elements corresponding to each other in pairs, such that 
dp db dp_da dq_db dq da 
da dq’ db dq da dp db dp 
(where a,b may be replaced by any other corresponding pair of elements, 
and p,q by any other corresponding pair of variables), then the elements 
a,... and b,... form a canonical system. 
40. Jacobi’s note of 1840 in the ‘ Comptes Rendus,’ calls attention to the 
theorem contained in the passage quoted above from Poisson’s memoir of 
1808, a theorem which Jacobi characterizes as “a plus profonde découverte 
de M. Poisson,” and as the theorem “le plus important de la Mécanique et 
de cette partie du calcul intégrale qui s’attache a l'intégration d’un systéme 
d’équations différentielles ordinaires” ; and he proceeds, “ le théoréme dont 
il est question énoncé convenablement est le suivant—un nombre quelconque 
de points matérials étant tirés par des forces et soumis a des conditions telles 
que le principe des forces vives ait lieu, si l'on connait outre que l'intégrale 
fournie par ce principe deux autres intégrales, on en peut déduire une 
troisiéme d’une maniére directe et sans méme employer des quadratures. 
En poursuivant le méme procédé on pourra trouver une quatriéme une 
cinquiéme intégrale et en général on parviendra a cette maniére a déduire 
des deux intégrales données toutes les intégrales ou ce qui revient au méme 
Vintégration complete du probléme. Dans des cus particuliers on retombera 
sur une combinaison des intégrales déja trowvées avant qu'on soit parvenu a, 
toutes les intégrales du probléme, mais alors les deux intégrales données jouis- 
sent des proprietés particuliéres dont on peut tirer un autre profit pour Uinté- 
gration des équations dynamiques proposées. C'est ce qu'on verra dans un 
ouvrage auquel je travaille depuis plusieurs années et dont peut-étre je 
pourrai bientot faire commencer l’impression.” 
4]. Liouville’s addition to Jacobi’s letter of 1840.—This contains the de- 
monstration of a theorem similar to that given in Jacobi’s letter of 1836, and 
Poisson’s memoir of 1837, but somewhat more general; the system con- 
sidered is a system of four differential equations of the first order :— 
dz dU dr' dU dy_ dU dy’ _ ,@U 
di da? de da’ dt aye at Nay? 
where U is a function of 2, y, 2',y', and \ is a function of 2, y, 2',y! and ¢. 
