Sur les Théorèmes de Sylvester 
et la Règle de Newton, 
dans la théorie des équations algébriques à coellicients réels. 
Par EmiLe MARCHAND 
AVANT - PROPOS 
En 16357, Descartes publiait dans sa Géométrie sa fameuse 
règle, connue depuis sous le nom de Règle des signes de Des- 
cartes, et qui permet de déterminer une limite supérieure du 
nombre des racines positives d’une équation algébrique par 
l'unique examen des signes des coefficients de cette équation. 
Newton, dans ses leçons, alors qu'il était professeur à l'Uni- 
versité de Cambridge, donna une règle qui permet de préciser 
les résultats obtenus par l'application de la Règle de Descartes, 
en faisant intervenir, non pas seulement les signes des coefli- 
cients de l’équation, mais aussi la valeur elle-même de ces 
coefficients. En 1707, Newton publiait sa règle, sans démons- 
tration, dans l’Aréthmetica universalis. 
Dans le courant du XVIIIe siècle, et dans la première moi- 
tié du XIX%e, plusieurs mathématiciens distingués essayèrent 
de la démontrer; on peut citer, en particulier, Maclaurin, Camp- 
bell, Waring, Euler; leurs efforts échouèrent. 
Voici ce que dit M. Cantor dans ses Vorlesungen über Ge- 
schichte der Mathematik (1898) t.3, p. 554, en parlant des travaux 
de Maclaurin et de Campbell, à ce sujet: 
« Diese Abhandlungen (de Maclaurin et de Campbell) brach- 
ten Erläuterungen zu Newton’s Regel für die Auffindung der 
Anzahl complexer Wurzeln einer gegebenen Gleichung, behaup- 
teten auch seine Regel beweisen zu künnen, blieben aber that- 
sächlich den Beweis schuldig und berührten nicht einmal die 
Schwierigkeit der Ausnahmsfille. » 
Il faut attendre jusqu'en 1864, époque où Sylvester, alors 
professeur de mathématiques, à la « Royal Military Academy », 
de Woolwich, publia plusieurs travaux à ce sujet. I! commença 
à donner la démonstration de la Règle de Newton pour quel- 
