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Dans les séries (1), faisons z—X,, X, réel; on a Spas 5 
pour une deuxième valeur réelle de x, æ—X;,, X, 
on à vP(X,) Supposons que dans l'intervalle x, 
(X,<zxZX,), aucune des fonctions f, aucune des fonctions F 
ne s’annule; il est évident, en vertu de la continuité des 
fonctions fet F que 
> À, 
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RO 
vP(X,) =vP(X)). 
Si on se propose de représenter graphiquement la fonc- 
tion vP(x), dans un intervalle réel, &...b, a <b, on a: 
vP(b) 
a PP) Ba La The b 
4 
©, %:, .. .. æ étant les seules valeurs de, x de l'intervalle 
1...b, (a xÆb) qui annulent une ou plusieurs fonctions 
f ou F. Ces racines sont nécessairement en nombre fini, 
d’après la nature des fonctions f et F. (Lorsqu'une ou plu- 
sieurs fonctions F sont identiquement nulles, on les consi- 
dère comme constantes, positives ou négatives). 
Pour les théorèmes de Sylvester, il est de première im- 
portance de chercher à déterminer vP(a) — vP(b). 
Soit, par définition, 
= vP(x; — l) ee vP(x: + h) Es Be CEA fs 
h étant un infiniment petit, comme toujours dans la suite. 
On voit alors que 
Sr 
vP(a) == vP(b) = Va, 
ns 
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Examinons de très près Ai. 
Par hypothèse, une ou plusieurs valeurs de la double 
suite ; 
(ti), ['(xi), f(x), : LOG: LE 
RG) 46), Fami); e 50 Fat) 
sont nulles. 
ET EME À 
