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La série inférieure présente deux variations, par consé- 
quent, l’équation possède deux racines imaginaires. En outre, 
vP(0)—1 et pP(0)— 2, donc le résultat est: 
NÉ TEN-= 2 et 17, 
Newton ajoute à la fin de l’exposé de sa règle: 
« C’est ainsi qu’on détermine la nature de toutes les raci- 
nes, lorsque le nombre des imaginaires n’est pas plus grand 
que celui qu’on peut découvrir par la règle établie ci-dessus; 
mais il peut arriver, quoique bien rarement, que le nombre 
des racines imaginaires surpasse celui que la règle a fait 
connaitre. » 
C’est, du reste, ce qu'il est facile de vérifier d’après les 
formules qui viennent d’être rigoureusement développées. 
Quant au procédé de Newton, pour la détermination des 
fractions par lesquelles doivent être multipliés les carrés des 
coefficients des termes moyens de l’équation, on a: 
n n—1 n—2 n—p+1 n—?p FD | 
D D Ua uit p HT Lin ET n 
et, en divisant chaque fraction, à partir de la deuxième, par 
la précédente, on obtiendra la suite suivante : 
n—1 2(n—2) p(n — p) n —1 
On 3—1) "pH D@—p+0 "2 
comme par le procédé de Sylvester, et les méthodes revien- 
nent au même. 
La convention que fait Newton, dans l’Arithmetica uni- 
versalis, au sujet des zéros, est absolument d'accord avec 
les conventions en vigueur dans ce travail-ci, et la Règle de 
Newton est ainsi démontrée dans ses moindres détails, et 
dans toute sa généralité. 
Rappelons ici très brièvement ces conventions, appliquées 
à la Règle de Newton. 
