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ce qui est très important pour cette étude, tout spécialement 
dans le cas où, soit f;, soit F;, soit encore tous les deux, 
sont nuls. 
Par rapport à ces nouvelles séries, on pourra formuler les 
deux théorèmes suivants, qui ne sont qu’une nouvelle expres- 
sion des théorèmes de Sylvester. 
Premier théorème. 
Soit N, le nombre de racines de l’équation algébrique à 
coefficients réels f(x) —0, qui appartiennent à l’intervalle 
APE 0. 
Chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a 
d'unités dans son ordre de multiplicité. 
Soit v@(x), le nombre de variations-variations que pré- 
sentent les deux séries : 
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TER RE 
telles qu'elles viennent d’être définies, pour une valeur bien 
déterminée x. 
On aura alors 
N— 0 g(a)— 0 9(b) —2u 
& étant un nombre entier, non-négatif. 
Deuxième théorème. 
Soit N’, le nombre de racines de l’équation f(x) —0, qui 
appartiennent à l'intervalle 
AE 0! 
Chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a 
d'unités dans son ordre de multiplicité. 
Soit pr(x) le nombre de permanences-permanences que 
présentent les deux séries 
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pour une certaine valeur x. 
