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our une valeur déterminée x, en ayant soin de supprimer 
es termes nuls. 
Tee 
20) le premier théorème de Sylvester. 
3) le deuxième théorème de Sylvester. 
La série Go, G,, -., G\ donne lieu à un troisième théo- 
rème de Sylvester. 
Soit w(æ), la fonction définie ci-dessus, à propos du théo- 
rème de Budan-Fourier, et soit g(x), le nombre de varia- 
tions de la série G,, G,, .., G\ pour une valeur bien déter- 
minée x. 
Le troisième théorème de Sylvester est donné alors par 
la formule k | 
NME 8) — 06) — #0) 
3: 
— À 
À, nombre entier, non-négatif, pair ou impair. 
Sylvester attachait à ses trois théorèmes une égale impor- 
tance. Il en serait évidemment ainsi, si les limites obtenues 
pour le nombre de racines, étaient toutes trois, indépen- 
dantes l’une de l’autre. Sylvester l’affirme; mais on peut 
montrer que le troisième théorème de Sylvester n’est qu'un 
corollaire des deux premiers théorèmes. 
En effet, considérons les deux séries : 
los is +. În 
Go; Gus, ares G, 
On a déjà défini les fonctions v(x), d(x), v@(x) et pr(x); 
on définirait, d'une manière analogue, vr(x) et p g (x). 
Pour. æ— 4, a n'étant pas racine de f(x) —0, on a évidem- 
ment les deux relations: 
vr(u) + p $ (a) S (a) pra) =» 
| vr(a) + p # (a) +2 .vg(a) — wa) + Ÿ (a). 
d’où par soustraction membre à membre, 
pr(u)—vg(a)—n—vw(a)— g(a) ou 
u(a) +- g (a) — v g(a) + pr(a) —n — constante pour tout point 
a qui nest pas racine de f(æ)—0; æ—b, par exemple, donc 
