= PRES 
v(a) + ga) —v g(a) + pr(a)=0(b) + L (0) — v SG) + prb). 
d’où 
v(a)+ ga) —1(b)— S(b)=v g(a)—v#(b)+pr(b)—pr(a) (À) 
v(a)+ ga) — vb) #0) _vg(u)—v#(@), pr) — pra) 
ML: 0 0 OPEN : ve VIRUS 
ce qui permet de constater la relation existant entre les trois 
théorèmes de Sylvester, et de démontrer le troisième. 
Le troisième théorème ne peut pas préciser les résultats 
fournis par les deux premiers théorèmes. 
En effet, supposons qu’on ait simultanément, 
v(a) + g (u) — wb) — (0) 
: EG) vtt 
CRC 
d’où | | 
À OO OO up (à— 0 8026) —pr() 
ce qui est en contradiction avec la relation (1) établie ci- 
dessus. 
Il y aurait lieu de distinguer men le cas où 4, b 
sont racines de l'équation fc) — 0. 
On déterminerait immédiatement d’après les séries 
fo 1 fi ? eur fn 
Gé, Ce AE 
pour æ—u, et æ—b, la multiplicité de ces racines. Soit 
A, la multiplicité de a; B, celle de b. 
On reconnaitrait alors facilement que la supposition 
PO PO FOCUS) ua) 
el RE) A0 < pr(b)— pr(a) — À 
conduirait à une contradiction. 
Donc, encore dans ce cas, le troisième théorème de Syl- 
vester ne contribue en aucune manière à préciser les résul- 
tats obtenus par l’application des deux premiers théorèmes 
| 
F 
