Morphol.-biol. Studien über den Bewegungsapparat der Arthropoden. I. 395 



dingungen bestimmt d als jeden der beiden gemeinschaftlichen Punkte 

 der drei Kugeln, a b c liegt in der Grundrisstafel P' . Die von a, 

 h und c aus beschriebenen Kugeln schneiden die Grundrissebene in 

 größten Kreisen, die um a b c mit dem gegebenen Radius ad^ bd 

 und cd beschrieben werden. Die beiden Kugeln aus a und b 

 schneiden sich in einem Kreise, dessen Ebene auf ab (und der Grund- 

 rissebene) senkrecht steht und sich als die gemeinschaftliche Sehne 

 ef beider größter Kreise projicirt. Eben so besitzen die Kreise von 

 b und c aus die gemeinschaftliche Sehne g h, die aus a und c die 

 Sehne i/c. Die Sehnen e/und c/h schneiden sich in dem Punkte d\ 

 welcher die Projektion der beiden Schnittkreise c/, d* der in die Sehnen 

 projicirten Schnittkreise je zweier Kugeln ist; diese schneiden sich, 

 weil beide Kreise auf derselben Kugel von b aus liegen; und weil 

 die durch d' gehende Projicirende diese Kugel nur in zwei Punkten 

 trifft. Diese Punkte gehören dann jedem Punkte der beiden Kreise, 

 daher auch jeder der drei Kugeln und dem Schnittkreise ik der 

 Kugel aus a und c an. Verbindet man nun a'b'c' mit d', so ist 

 ab' cd' der gesuchte Grundriss. Um den dazu gehörigen Aufriss 

 konstruiren zu können, müssen wir erst die Höhe bestimmen, die 

 nicht gegeben ist. Wenn der Fall vorkommt, dass die drei Kreise 

 sich in einem Punkte schneiden, der dann zugleich der 4. Punkt d 

 ist, so ist die Höhe gleich 0, d. h. die vier Punkte bilden überhaupt 

 kein Tetraeder, sondern liegen in einer Ebene. Im anderen Falle 

 verfährt man so : man legt irgend einen der Schnittkreise in die 

 Grundrissebene um, z. B. den vom Durchmesser (//t, der auf ^/Z/ senk- 

 rechte Abstand d' d" ist dann die wahre Höhe der Pyramide ab cd. 

 Alsdann kann man ohne Weiteres den Aufriss konstruiren. Durch 

 beide Projektionen ist jetzt das Tetraeder vollkommen bestimmt. 



Aus dem konstruirten Grund- und Aufriss lässt sich jetzt der 

 Winkel, den zwei Kanten des Tetraeders mit einander bilden, kon- 

 struiren. Die Kanten, um die es sich handelt, sind ab und cd (unsere 

 Gelenkachsenl . Die zweite geometrische Aufgabe ist also die: 



Den Winkel zweier windschiefen durch ihre Projektionen ge- 

 gebenen Geraden ab und cd zu bestimmen, von denen eine ab der 

 Grundrissebene parallel läuft. Hierzu vgl. Fig. l A, B und C im 

 Texte. 



Die Projektionen der Geraden sind a'b' und c'd' resp. a"b" und 

 c"d"; wir drehen cd um ab bis es in die Grundrissebene fällt; pro- 

 jiciren c'd' auf eine zu ab' senkrechte Ebene MN; -d' beschreibt da- 

 bei einen Kreis um b' [Ad" = Bd'" die Höhe), d'" bringen wir 

 jetzt wieder zurück, d' bewegt sich senkrecht zu a'b' im Grundriss; 



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