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lions S et ï de l'ensemble, correspondant aux valeuis a et b 

 du paramètre. La première transformation S conduit du sys- 

 tème de valeurs (j:,, ,/■.-,,..., a;„) au système de valeurs 

 (a:',,;i'o, ...,x'n) définies par les formules (i); la seconde trans- 

 formation T conduit du deuxième système (a;',, a'.,, ...,x\) au 

 troisième système {x'\,x"ç,, ..■,x''„) défini par les formules 



.r/'i = fi ( .r', b) (i = 1 , 2 , . . . , n ). (2) 



Remplaçons dans ces formules les x' par leurs valeurs (I); 

 nous aurons 



x"i = Fi{x,a,b) {/ = 1,2, ...,n)- ('^) 



Ces formules définissent encore une transformation dépen- 

 dant des deux paramètres a ei b; elle est dite le produit des 

 transformations S et T et s'indique par le symbole ST. 



2. Groupes de transformations. 



Nous dirons que l'ensemble des c^i transformations (1) 

 forme un groupe de transformations à un paramètre si le pro- 

 duit de deux transformations quelconques de l'ensemble est 

 encore une transformation du même ensemble. 



Pour cela il faut et il suffit que les formules (3) soient de 

 la forme 



x"i = fi{x,c) (•/=1,2, ...,H), (4) 



c étant une valeur du paramètre ne dépendant que de a et b. 



c = ^{(ijb). 



Un tel groupe est dit continu pour exprimer que nous 

 supposons les fi analytiques, et par suite continues, par rap- 

 port aux X et au paramètre a. 



Exempte. — Considérons dans le plan les l'otations autour 

 d'un point. Ce point étant pris pour origine d'un système de 

 coordonnées cartésiennes, ces transformations sont données 

 par les formules 



(«)};;= 



X =^x cos a — 11/ SI n rt 

 x'&ïn a -\- y cos a. 



Effectuons successivement deux telles transformations cor- 

 respondant aux valeurs a et 6 du paramètre. La première 

 conduit du point {x, y) au point {oc', y') défini par les formules 



