59 



3. Equations différentielles auxquelles donne lieu un groupe 

 de transformations à un paramètre. 



Considérons les équations de condition 



f^{.x\b) = fi{x,c) {i = i,2,...,n) (5) 



résultant des équations (3) et ( i). 



Des deux systèmes de variables x et x' nous pouvons 

 choisir soit les unes soit les autres comme vai'iables indépen- 

 dantes; des trois paramètres a, b, c nous pouvons en re£;arder 

 deux comme indépendants. Nous envisagerons x^.Xç, .... .!•„, a, c 

 comme des variables indépendantes et h comme une fonction 

 de a et c définie par la i-elation c=:(D{a,b). Les x' sont des 

 fonctions des x et de a définies par les formules (1), 



En dérivant les relations (5) par rapport à a, nous aurons 



à fi èx\ âfi c x\^ dfi ôx'n , d_f)_ ^ _ n .n. 



d x\ d a d x\_ Sa d x',, da d b d a 



(^ = -1,2,..., H). 



D'autre part, on tire de même de c = 'j^{a, b). 



d^ d^ôb_^^ 

 d a db d a 



db 

 On voit donc par là que — ne dépend que de a et b et 



du 

 peut se mettre sous la forme 



S b , , 



da 



ôx' ■ 

 Les équations (6) sont résolubles par rapport aux — ', car 



le déterminant de leurs coefficients est ôia 



\)[x'] 



qui, par hypothèse, n'est pas identiquement nul; ces quan- 

 tités seront exprimées par des fonctions linéaires et homo- 



