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gènes (les der-niers termes (iguranl. :iux pieinieis membres 

 des équations (6) et — sera facteur commun. 



Par conséquent on obtient des expressions de la forme 



^=..l^(ajj)l.;(.r'jn (i = i,%...,?i). (7) 



Sa 



Or les x' ne dépendant pas de b, il doit en éti'e de même 

 des II et de *1^; de sorte que les équations (7) sont de la forme 

 suivante : 



'^ = ^(a)h{x') (ï= 1,^2, ...,//.). (8) 



lia 



Nous pouvons donc énoncer le théorème fondamental sui- 

 vant: 



Si les éqiialions 



x'i = fiix,a) (/ = i/2, ...,//) 



définissent un groupe à un paramètre, les x' , considérés comme 

 fonctions des x et de a, satisfont à un système d'équations différen- 

 tielles de la forme 



da 



4. — Supposons que le groupe considéré contienne la 

 transformation identique, c'est-à-dire que pour rt = r/o les for- 

 mules (1) se réduisent à 



x'i^=Xi (i=l,2, ..., //). 



Cela étant, nous allons maintenant démontrer la récipro- 

 que du tliéorème que nous venons d'énoncer: 



Si l'on a un ensemble de oo^ transformations définies par les 

 formides [i], qui satisfont à un système d'équations différentielles 

 tel que celui défini par les relcUions (8), l'ensemble contenant la 

 transformation identique, le système de transformations donné 

 forme un groupe continu à un paramètre. 



Etablissons d'abord le lemme suivant : 



