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Soit un système de n équations différentielles ordinaires à une 

 seule variable indépendante x et à n fonctions ?/,, //o, ..., y,, 



--^ = F/(./-, 2/1,^/2, ..., y J (/=l/2, ...,h). 

 dx 



On peut mettre, d'une manière et d'une seule, son intégrale 

 générale 



i/i = lu (.r , Cl , C2, . . . , C. ) (/ = 1 , 2, . . . , ^0 (.1 ) 



sous une forme telle que pour une certaine valeur Xo de x, les yi 

 se réduisent à des fonctions données de n constantes arbitraires 



^{i C(^, • • • 1 Cl) 



Vi = (li(j'\^<'i^ •••iCJ ('=1,2 n). 



Observons d'abord que le iacobien ne saurait être 



D(C) 

 identiquement nul, parce que, dans le cas contraire, les cons- 

 tantes arbitraires qui figurent dans le système (1) pourraient 

 se réduire à moins de n. 11 s'ensuit que les équations 



hi (Xo, (:,, C^, . . . , C„) = g; U\ , c^, . . . , Cn) (i = 1 , 2, . . . , ?0 



peuvent se résoudre pai' rappoit aux C 



Ci = rù (.r,„ c^ , (■.-,, . . . , c„) (i = 1,2,..., n), 



de sorte que le système (1) devient 



yi=hi[y,r,^{x„,c^, ...,r„), ...,■r^„{Xo,c^,Cç, c,,)] (i --= 1, 2, ...,n) 



ou simplement 



tji = H; (.r, t, , c^, . . . , c,) (/■ = 1,2,..., n) 



les M étant des fonctions parfaitement déterminées. Notre 

 lemme est démontré. 



Ceci posé, considérons le système (8). C'est un système 

 d'équations différentielles ordinaires dont les équations (1) 

 forment un système intégral, les x^^Xç,, ...,Xn étant des cons- 

 tantes arbitraires. Mais il est clair que les équations ditTéren- 

 tielles (8) ne définissent pas un groupe unique de transforma- 

 tions, comme par exemple celui défini par les formules (1), 



