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car les .// ne sonl pas déterminées comme fonctions des ./; 

 par les éqiuUioiis (8). I)'a[)rès le lemme précédent, [)onr que 

 les équations (<S) di-linissenl un grou[je uni(|ue, il suflil qu'on 

 se soit dornié une translortnation déterminée du ^n-oupe, ou, 

 d'une manière plus précise, que, [)Oui' a:=^»^,, les x' se rédui- 

 sent à des forjctions données des x 



x'i =^ ()i (.r, , .To, . . . , Xn ) 0' = 1 , 2, . . . , n). ( 9 ) 



Glierclions la forme des intégrales (8). Pour simplifier, 

 nous introduirons un nouveau paramètre t en posant 



a 

 1= j ^(,i)dn. (10) 



Ces équations (8) prennent la forme réduite 



'^■'J=î/(.r') («=1,2,...,//), (Il) 



dt 



et, dans ce système, la variable indépendante ne figure plus 

 explicitement. Ecrivons ce système 



d.j\ dx'o dx'„ 



Si on pren(J les n premiers rapports, on a un système de 

 {n — 1) équations dilïérentielles à n variables dont l'intégrale 

 générale peut s'écrire 



les Ci étant des constantes arbitraires. Ceci suppose que les 

 (n — 1) fonctions il sont indépendantes, c'est-à-dire qu'un au 

 moins des déterminants fonctionnels par rapport aux varia- 

 bles x/ ne soit pas idr>nliquemenl nul. Admettons donc pour 

 fixer les idées que ce soit celui relatif aux (ii — 1) premières 

 variables x\ 



U [X ^^ X ^^ . . . , X „ — 1^ 



