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Le groupe est ;iinsi parfaitement déterminé et les équa- 

 tions qui le définissent sont 



i ^n — 1 (^" j 1 "f o, • . . , 'X' n) = ^n — 1 (•X'j , .X'o, . . . , ./ „ ). 



^l„(x'^,x\, ...,x'n)=^ii„(x^,x^,...,.l■„)■\- l. 



m) 



Ces formules (12) définissent bien un t^n'oupe, car si l'on 

 fait le produit des ti-ansformations S, définie pai' la valeur /, 

 du paramètre, et T, définie par la valeur l^ de /, on obtient 

 la transformation ST, définie par la valeur /,-f"'2 ^^^ païa- 

 mètre. 



De plus, il est évident que le produit TS représente la 

 même transformation que le produit ST: on exprime cela en 

 disant que les deux transformations S et T sont permutables. 



Enfin, deux transformations étant dites inverses quand leur 

 produit est l'unité, on reconnaît immédiatement que les trans- 

 formations définies pai' les valeurs 1 et —T du paramètre 

 jouissent de cette propiiété. 



5. Interprétation géométrique. 



Il est facile d'interpréter géométriquement ces groupes de 

 transformations à un paramètre dont fait partie la transfor- 

 mation unité. 



Dans l'espace à n dimensions, les (n — 1) premières équa- 

 tions (12) représentent chacune une surface, et lem^ ensemble 

 définit une ligne. Pendant la transformation, chaque point 

 de l'espace reste situé sur la ligne qui lui correspond. 



Faisons un changement de variables. Posons 



//j = i)jp;), ..., V„ = i>„(a.^). 



Nous transformons l'espace s à n dimensions, de coordon- 

 nées x^ en un espace s' à n dimensions, de coordonnées y. 

 Les équations (12) prennent la forme 



y'\ = Ui , y'a = y-2^---^ y'" = //« + ^ 



qui est dite la forme normale du groupe. Ces équations expri- 

 ment qu'à toute transformation de l'espace ^ coriespond dans 

 l'espace s' une translatai parallèle au n''-'"'- axe de coordon- 

 nées. 



