— 67 — 



Supposons que cette équation soit identique à l'équation 

 obtenue en efîectuant sur les variables x et tj \e changement 

 de variables défini par les équations 



^x' = f(x,y,a) /2^ 



iy'=g(x,y,a) 



d'un groupe connu de transformations, quelle que soit la valeur 

 du paramètre a. Nous dirons, pour abréger, que l'équation (1) 

 admet le groupe (2). La connaissance d'un tel groupe permet 

 de simplifier l'intégration de l'équation (1). Ramenons par un 

 changement de variables le groupe (2) à la forme normale 



(v'=v-\-t. 



Le même changement de variables, appliqué à l'équation 

 différentielle (1), la transforme en une nouvelle équation du 

 même ordre 



T. / du d"v\ ,, 



\ du diu^J 



qui doit admettre le groupe u' =^%i^v' =^v-\-t, c'est-à-dire ne 

 doit pas changer quand on remplace v par v-{-t, quelle que 

 soit la valeur du paramètre t. Or ceci ne peut évidemment 

 avoir lieu que si F^ ne contient pas v explicitement. Par suite 

 l'équation transformée sera de la forme 



„ / dv d"v\ ^ 



\ du du"/ 



Si u > 1 on abaissera l'ordre de l'équation d'une unité en 



prenant pour nouvelle fonction inconnue — . 



du 

 Si n = l on obtiendra l'intégrale de l'équation par une 

 quadrature. 



Exemple I. — Soit une équation différentielle ordinaire 

 d'ordre 7i homogène par rapport à x,y,dx,dy,d'^y, ...jd^y. 

 Elle ne change pas quand on remplace x par ex, y par cy 

 et, par conséquent, admet le groupe de transformations défini 

 par les formules 



; y' y 



où < = Logc. 



(«) l x' X 



(Log;^' = Logx' + ^, 



