- 70 — 



homogène par rapport à // oL — -. Elle admet le groupe 



d ./• 



que l'on peut écrire 



^ x' =-x 



{ Logî/' = Log//-|-^, 

 où t = Log c. 



D'après ce que nous avons vu, cette équation s'intégrera 

 par une quadrature en prenant pour fonction inconnue Log y, 

 et en conservant x pour variable indépendante. Soit y une 

 intégrale particulière de (p). L'équation (a) admet, comme on 

 le vérifie, le groupe 



\y' =y-i-cyi- 



Nous pouvons mettre ces formules sous la forme 



W' y , 

 ?/i ?/i 



Par suite nous prendrons comme nouvelles variables .x et 

 — et nous serons conduits à une équation intégrable par une 

 quadrature. 



7. — La théorie des groupes continus de transformations 

 à un paramètre de Lie permet donc de rattacher à un seul 

 point de vue ces procédés d'intégration des équations difté- 

 rentielles ordinaires du premier ordre et les cas d'abaissement 

 des équations d'ordre supérieur. Ces méthodes particulières 

 qui nous paraissaient des artifices de calcul sans lien entre 

 eux ne sont au fond que des cas particuliers de la méthode 

 précédente. 



8. — Jusqu'ici nous avons supposé que nous connaissions 

 le groupe de transformations. Nous sommes donc amenés à 

 résoudre le problème très important suivant: 



Reconnaître si une équation différentielle donnée admet un ou 

 plusieurs groupes continus de transformations à un paramètre et 

 déterminer ces groupes. 



