Les propriétés homopaphipes de l'épation de Riccati 



Par L. ISELY, Professeur 



L'équation de Riccati se composait primitivement de trois 

 termes. C'est la forme que lui donne son auteur dans le fas- 

 cicule de novembre 1723 des Ada Eniditorum. Le propre de 

 cette équation difTérentielle du premier ordre est de renfermer 

 le carré de la fonction inconnue. Trois ans plus tard, Gold- 

 bach la compléta par l'addition d'un quatrième terme con- 

 tenant la première puissance de cette fonction iCommentarii 

 Academiœ Petropolitanx ad annum 17261. 



Cette équation de la forme 



i'- + Pi/ + Qy + R = o. 



dx 



où P, Q, R sont des fonctions de x, ne peut pas en général 

 s'intégrer par des quadratures. Par contre, deux quadratures 

 suffiront si l'on en connaît une seule solution particulière. 

 Son intégrale générale se présente alors sous la forme d'une 

 fonction rationnelle et linéaire de la constante d'intégration. 



Réciproquement, il est facile de s'assurer que cette pro- 

 priété n'appartient qu'aux équations de ce type. 



La relation entre l'intégrale générale y et la constante 

 arbitraire 6 se ramenant à l'équation bilinéaire 



A0î/ + B?/ + C6 + D = o, 



A, B, C, D étant des fonctions de x, il en résulte que le rap- 

 port anharmonique (le RA) de quatre valeurs quelconques de 

 y est égal à celui des valeurs correspondantes de e. Ce qu'on 

 exprime, en employant la notation abrégée de Môbius, 



(2/1 2/2 2/3 /A) = (^ ^2^3 ^4)- 



Ainsi, pour une même valeur de la variable x, le RA de 

 quatre solutions particidières quelconques de l'équation de Riccati 

 est constant^. 



1 G. HuMBERT. Cours d'Analyse, t. IT, p. 282. — Ed. Goursat. Cours 

 d'Analyse ynathématique, t. II, p. 317. 



