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L'interprétation géométrique de ces résultats est aisée. 

 L'intégrale générale, renfernaant un paramètre variable, définit 

 une famille de lignes planes que, pour abréger, nous appelle- 

 rons courbes de Riccati. Supposons construites celles de ces 

 dernières qui correspondent aux quatre valeurs particulières 

 ^1» ^2' ^3' ^4 ^u paramètre. Le double rapport des quatre points 

 où ces courbes sont coupées par une sécante mobile, parallèle à Vaxe 

 des y, est constant, c'est-à-dire que l'on a, M^, Mg, M3, M^ dési- 

 gnant ces points d'intersection, 



(MiMgMaM^)^ const. 



Trois courbes de Riccati permettent donc de déterminer 

 toutes les autres. 



Gomme corollaire de la propriété ci-dessus énoncée, nous 

 pouvons formuler la proposition suivante, qui nous sera utile 

 plus tard : 



Les courbes de Riccati divisent homographiquement deux paral- 

 lèles quelconques à Vaxe des y. 



Des équations du type de Riccati se présentent dans nom- 

 bre de questions de géométrie infinitésimale, entre autres 

 dans le problème des trajectoires, et dans la théorie des lignes 

 asymptotiques. 



L'équation diiïérentielle des trajectoires orthogonales d'une 

 famille de cercles est de la forme 



2R — + 6' (d — u^) - 2 a'u = 0, 

 dt 



a\ b' étant les dérivées des coordonnées rectangulaires du 

 centre, par rapport au paramètre variable t, et R le rayon, 



également fonction de t. On a pris pour inconnue tg—^en 

 posant 2 



o) représentant l'angle du rayon avec la direction de l'axe 

 des x. 



Gomme on le voit, l'équation différentielle des trajectoires 

 orthogonales d'une famille de cercles (cela est aussi vrai des 

 trajectoires obliques) est une équation de Riccati. En l'inté- 

 grant, on aura u, et par suite w, en fonction de t et d'une 

 constante arbitraire. Les équations paramétriques des trajec- 

 toires seront alors 



^ = a -[- R cos to r= /"(^^ e)^ 



et 2/ = ^ + f^sinio = cp(^^e), 



