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6 étant une constante arbitraire. Ces trajectoires posséderont 



donc la propriété homographique des courbes de Riccati. 



Un cas intéressant des trajectoires orthogonales est celui 



où les cercles donnés ont leurs centres en ligne droite. En 



prenant cette droite pour axe des x, l'équation différentielle 



ci-dessus se réduira à 



du , 



n au = 0, 



dt 



équation à variables séparables, qui s'intégrera immédiate- 

 ment. 



En particulier, prenons l'abscisse du centre pour paramètre 

 variable (t = a), et supposons R = a. L'intégration donnera 



u = Ca, 



C désignant une constante arbitraire, et les équations para- 

 métriques des trajectoires seront 



_ 2a 2C«2 



I + C^as'^ l + G^rt^' 



d'où l'on conclut, en éliminant a, 



y=:^o (axe des x), 



et C{x^^ + if-)-2y = o, 



cercles ayant leurs centres sur l'axe des y, à la distance — 

 de l'origine. C 



Les cercles donnés et leurs trajectoires orthogonales for- 

 ment donc deux faisceaux conjugués, dont les axes radicaux (les 

 axes de coordonnées eux-mêmes) sont rectangulaires, et les 

 points limites confondus avec l'origine. De l'équation de Ric- 

 cati dont ils proviennent, on déduit aisément les propriétés 

 homographiques et involutoires de chacun de ces faisceaux. 



Les lignes asymptotiques des surfaces conduisent à des 

 résultats plus importants encore. Ces lignes, imaginées par 

 Dupin^, doivent leur nom au fait qu'elles sont tangentes en 

 chaque point à l'une des asymptotes de Vindicatrice de la sur- 

 face en ce point. Ce sont des lignes de courbure nulle. 



Les coordonnées d'un point quelconque d'une surface étant 

 exprimées en fonction de deux paramètres variables ii et v, 



1 Développements de géométrie, 1813. 



