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l'équalion difTérentielle des lignes asymptotiques, qui corres- 

 pond au cas où le rayon de courbure est infini, est de la forme 



du \duj 



R, S, T étant des fonctions connues de u et v. 



L'intégration de cette équation du premier ordre conduit, 

 lorsque la surface considérée e^i gauche, à des résultats du plus 

 haut intérêt. Dans ce cas, en effet, R est nul, S indépendant 

 de u, et T un polynôme du second degré en u. L'équation se 

 décompose alors en deux : 



dv = 0, 



et — + Lu^ + Mu + ^ = o, 



dv 



où L, M, N sont des fonctions de v seul. 



La première donne v = const. ; les lignes correspondantes 

 sur la surface sont les génératrices rectilignes, qui figurent 

 ainsi l'une des séries d'asymptotiques. La seconde, qu'on ne 

 sait intégrer que si l'on en connaît une solution particulière, 

 détermine celles de l'autre série. On voit que c'est une équa- 

 tion de Riccati. Sur les quadriques gauches (hyperboloide à 

 une nappe, paraboloïde hyperbolique), les deux systèmes de 

 génératrices rectilignes sont les deux séries d'asymptotiques 

 de la surface. 



L'intégrale générale de l'équation de Riccati ci-dessus 

 étant une fonction rationnelle et linéaire de la constante d'in- 

 tégration, le RA de quatre solutions u^, i/^, ^^3, %, pour une 

 même valeur de la variable v, est constant. Or, v = const. 

 représente une génératiice rectiligne quelconque de la surface; 

 il en résulte que le double rapport des quatre points de rencontre 

 de cette génératrice avec quatre asymptotiques proprement dites est 

 constant^ ce qui permet de déterminer, sans aucune quadra- 

 ture, toutes ces lignes, dès qu'on en connaît trois. On peut 

 encoi'e dire que les asymptotiques d'une surface gauche divisent 

 homographiquement deux génératrices quelconques de celte surface ^ . 



Si toutes les génératrices de la surface rencontrent une 

 droite fixe, cette droite est une asymptotique de la seconde 

 série, et l'on obtiendra toutes les autres par deux quadratures. 



^ Paul Serret. Thèse sur les ^propriétés géométriques de.s courbes à 

 double courbure. 



